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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 17.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Betrachten Sie die parametrisierte Fläche
$ [mm] \psi: [/mm] D [mm] \to \IR^3, [/mm] \ [mm] \psi(x,y) [/mm] = [mm] (x,y,x^2-y^2)^T [/mm] $
mit der Kreisscheibe $ D = [mm] \{(x,y) \vert x^2+y^2 \le R^2\}$ [/mm] vom Radius $ R >0 $ ud berechnen Sie ihre Oberfläche. |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage. Folgendes hab ich bereits notiert:
Mit $ f: D [mm] \to \IR^3, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y) = [mm] x^2-y^2$
[/mm]
ergibt sich der Flächeninhalt der Menge $ M [mm] =\psi(D)$ [/mm] zu
$ A(M) = [mm] \int_{D}\sqrt{1+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}}d(x,y)$
[/mm]
$ A(M) = [mm] \int_{D}\sqrt{1+4x^2+4y^2}d(x,y)$
[/mm]
nun wird in der Lösung ein Koordinatenwechsel zu Polarkoordinaten vorgenommen gemäß
$ A(M) = [mm] \int_{0}^R\left(\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{1+4r}d\varphi\right)rdr$
[/mm]
Nun lautet meine Frage wieso das innere Integral von $ [mm] -\pi [/mm] $ nach $ [mm] \pi$ [/mm] integriert wird. Es handelt sich doch offensichtlich um die ganze Kreisscheibe und die müsste doch von $ 0$ nach $ [mm] 2\pi$ [/mm] integriert werden, oder nicht?
Freue mich über jeden Hinweis.
LG,
ChopSuey
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Hiho,
Für den Wechsel zu Polarkoordinaten ist es wichtig, dass der Winkel eine ganze Kreisscheibe beschreibt. Ob er das nun tut, indem er von $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] läuft oder von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] spielt dabei keine Rolle… wie du auch an deinem Beispiel sehen kannst… wichtig ist nur, dass er eine ganze Periode durchläuft. Möglich wäre also auch [mm] $[7\pi, 9\pi)$ [/mm] oder [mm] $[e\pi,(e+2)\pi)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 17.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Gono,
vielen Dank für deine Antwort. Beschreibt der Winkel beim Wechsel zu Polarkoordinaten denn immer eine ganze Kreisscheibe? Ich bin mit dem Ganzen noch etwas unvertraut. Oder kann der Winkel auch kürzer ausfallen?
Werde mir noch weitere Beispiele zum besseren Verständnis anschauen!
Vielen Dank,
LG,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 17.01.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn dein Gebiet etwa wäre [mm] x^2+y^2<=r^2, [/mm] x>0,y)0 musst du nur über 1/4 Kreis also von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] integrieren, das hat nicht mit Polarkoordinaten zu tun, sondern mit dem D
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Di 17.01.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
ja klar! Stimmt natürlich und ergibt Sinn.
Danke für die Ergänzung und den Hinweis!
LG,
ChopSuey
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