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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Sa 02.07.2011
Autor: Wurzel2

Aufgabe
Wir betrachten f: [mm]\IR \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow \lambda x [/mm]. Gib die Lösung des AWP x´= f(x), x(0) = 1 an

Hallo,

also x´(t) = [mm]\lambda x (t) [/mm] , x(0) = 1

Im Tutorium haben wir solche Aufgaben immer per "Trennung der Veränderlichen" gelöst. Jedoch komme ich dann ab einem Punkt nicht weiter.

Meine Frage wäre erst einmal ob ich überhaupt richtig liege die Lösung mit "Trennung der Veränderlichen" zu bekommen.

        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Sa 02.07.2011
Autor: fred97


> Wir betrachten f: [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] , x [mm]\rightarrow \lambda x [/mm].
> Gib die Lösung des AWP x´= f(x), x(0) = 1 an
>  Hallo,
>  
> also x´(t) = [mm]\lambda x (t)[/mm] , x(0) = 1
>  
> Im Tutorium haben wir solche Aufgaben immer per "Trennung
> der Veränderlichen" gelöst. Jedoch komme ich dann ab
> einem Punkt nicht weiter.
>  
> Meine Frage wäre erst einmal ob ich überhaupt richtig
> liege die Lösung mit "Trennung der Veränderlichen" zu
> bekommen.


Ja

FRED

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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Sa 02.07.2011
Autor: Wurzel2

Ok.

Bin wie folgt vorgegangen:

[mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] = [mm]\lambda x (t) [/mm]

x dx = [mm]\lambda [/mm] t dt

Dann Integrale davor setzen und raus kommt
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\lambda^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [mm]\ t^2[/mm]+ c

Nach x auflösen:

x = [mm] \wurzel{\lambda ^2 + t^2 + 2c}[/mm]

1 = x(0) wenn c= ?

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AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Sa 02.07.2011
Autor: fred97

Da ist gewaltig was daneben gegangen !

Du hast:   [mm] $\bruch{dx}{dt}= \lambda [/mm] x$

Ternnung der Var.:

               [mm] $\bruch{dx}{x}= \lambda [/mm] dt$

Jetzt Du. Deine gesuchte Funktion heißt x und hängt von t ab !

FRED

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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Sa 02.07.2011
Autor: Wurzel2

[mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx = [mm]\lambda [/mm] dt

[mm]\integral [/mm] [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx = [mm]\integral [/mm] [mm]\lambda [/mm] dt

log x = [mm] \bruch{1}{2} \lambda^2 [/mm] + t

was mache ich nun mit dem log?

Bezug
                                        
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AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 02.07.2011
Autor: fred97


> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dx = [mm]\lambda[/mm] dt
>  
> [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dx = [mm]\integral[/mm] [mm]\lambda[/mm] dt
>  
> log x = [mm]\bruch{1}{2} \lambda^2[/mm] + t

Nein. Rechts wird doch nach t integriert !!!

              [mm]\integral[/mm] [mm]\lambda[/mm] dt= [mm] $\lambda*t+C$ [/mm]

FRED

>  
> was mache ich nun mit dem log?  


Bezug
                                                
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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 So 03.07.2011
Autor: Wurzel2

OK.

Habe ich dann folgendes:

log x = [mm]\lambda t +c [/mm]

x(t) = [mm] log \lambda t + log c [/mm]

x(0) = 1 wenn c = 10 ist ?

Bezug
                                                        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 So 03.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> OK.
>  
> Habe ich dann folgendes:
>  
> log x = [mm]\lambda t +c[/mm]
>  
> x(t) = [mm]log \lambda t + log c[/mm]      [notok]

da machst du mit den Logarithmusgesetzen ein ziem-
liches Durcheinander ...
  

> x(0) = 1 wenn c = 10 ist ?     [haee]

noch ein Hinweis: du brauchst den natürlichen, nicht
den Zehnerlogarithmus !

LG




Bezug
                                                                
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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 So 03.07.2011
Autor: Wurzel2

Also:

[mm]\integral \bruch {1} {x} dx [/mm] = ln x

[mm]\integral \lambda dt [/mm] = [mm]\lambda t + c [/mm]

Nun: ln x = [mm]\lambda t + c [/mm]  (1)

Nun haben wir im Tutorium ein c gesucht, sodass x(t) bei x(0) = 1 ist

Muss ich das jetzt auch machen oder muss ich (1) noch verändern?

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AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 So 03.07.2011
Autor: leduart

Hallo
lös erst nach x auf, indem du AUF BEIDEN SEITEN die Umkehrfkt von  ln anwendest.
gruss leduart


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AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 So 03.07.2011
Autor: Wurzel2

[mm]e^x[/mm] = [mm]e^{\lambda t + c} [/mm] ???

Bezug
                                                                                        
Bezug
AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 So 03.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Wurzel2,

> [mm]e^x[/mm] = [mm]e^{\lambda t + c}[/mm] ???


es muss hier zunächst stehen:

[mm]e^{\blue{\ln}\left(x\right)} = e^{\lambda t + c}[/mm]


Gruss
MathePower


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