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Ableitung, Betragsfunktion: Hilfestellung, Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 01.06.2010
Autor: Marcel08

Hallo Community,



ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der Funktion


[mm] f(x)=\bruch{1}{|x-a|}, [/mm] mit [mm] x\not=a [/mm] und [mm] x,a\in\IR [/mm] bildet.



Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen


[mm] f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x


Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun komponentenweise differenzieren?





Gruß, Marcel

        
Bezug
Ableitung, Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Di 01.06.2010
Autor: abakus


> Hallo Community,
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> ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> Funktion
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x

Das ist richtig.
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> Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> komponentenweise differenzieren?

Besser formuliert:
du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige Funktionsvorschrift ableiten.
Gruß Abakus
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> Gruß, Marcel
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Bezug
                
Bezug
Ableitung, Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 01.06.2010
Autor: Marcel08

Hallo!



> > Hallo Community,
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> > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > Funktion
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> > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> Das ist richtig.
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> > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > komponentenweise differenzieren?
> Besser formuliert:
>  du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> Funktionsvorschrift ableiten.




Dann hätte man also


[mm] \bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x

[mm] =\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}}, [/mm] mit [mm] x\not=a? [/mm]





Gruß, Marcel






Bezug
                        
Bezug
Ableitung, Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Di 01.06.2010
Autor: abakus


> Hallo!
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> > > Hallo Community,
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> > > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > > Funktion
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> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> > Das ist richtig.
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> > > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > > komponentenweise differenzieren?
> > Besser formuliert:
>  >  du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> > Funktionsvorschrift ableiten.
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> Dann hätte man also
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> [mm]\bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x

Das ist richtig.
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> [mm]=\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}},[/mm] mit [mm]x\not=a?[/mm]

Das ist falsch. Im ersten Fall ist die Ableitung garantiert negativ. Das kann kein Betrag leisten.
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> Gruß, Marcel
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Bezug
                                
Bezug
Ableitung, Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 01.06.2010
Autor: Marcel08


> > Hallo!
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> > > > Hallo Community,
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> > > > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > > > Funktion
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> > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > > > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> > > Das ist richtig.
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> > > > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > > > komponentenweise differenzieren?
> > > Besser formuliert:
>  >  >  du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> > > Funktionsvorschrift ableiten.
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> > Dann hätte man also
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> > [mm]\bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x
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> Das ist richtig.
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> > [mm]=\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}},[/mm] mit [mm]x\not=a?[/mm]
>  Das ist falsch. Im ersten Fall ist die Ableitung
> garantiert negativ. Das kann kein Betrag leisten.



Gibt es eine Möglichkeit, die beiden Fälle zusammen zu fassen? In der Übung wird die Ableitung zu


[mm] \bruch{d}{dx}f(x)=-\bruch{(x-a)}{|x-a|^{3}} [/mm]



angegeben. Ist das wirklich richtig? Wenn ja, wie komme ich auf diese Gestalt?





Gruß, Marcel


> > Gruß, Marcel
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Bezug
                                        
Bezug
Ableitung, Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Di 01.06.2010
Autor: abakus


> > > Hallo!
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> > > > > Hallo Community,
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> > > > > ich würde gerne wissen, wie man die Ableitung der
> > > > > Funktion
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> > > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|},[/mm] mit [mm]x\not=a[/mm] und [mm]x,a\in\IR[/mm] bildet.
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> > > > > Vielleicht würde ich mal wie folgt ansetzen
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> > > > > [mm]f(x)=\bruch{1}{|x-a|}=|x-a|^{-1}=\begin{cases} \bruch{1}{x-a}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ \bruch{1}{a-x}, & \mbox{für } x
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> > > > > Wie geht es nun weiter? Darf man die Funktion nun
> > > > > komponentenweise differenzieren?
> > > > Besser formuliert:
>  >  >  >  du darfst die im jeweiligen Teilbereich gültige
> > > > Funktionsvorschrift ableiten.
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> > > Dann hätte man also
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> > > [mm]\bruch{d{f(x)}}{dx}=\begin{cases} -\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x>a \mbox{} \\ +\bruch{1}{(x-a)^{2}}, & \mbox{für } x
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> > Das ist richtig.
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> > > [mm]=\vmat{\bruch{1}{(x-a)^{2}}},[/mm] mit [mm]x\not=a?[/mm]
>  >  Das ist falsch. Im ersten Fall ist die Ableitung
> > garantiert negativ. Das kann kein Betrag leisten.
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> Gibt es eine Möglichkeit, die beiden Fälle zusammen zu
> fassen? In der Übung wird die Ableitung zu
>
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> [mm]\bruch{d}{dx}f(x)=-\bruch{(x-a)}{|x-a|^{3}}[/mm]
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>
> angegeben. Ist das wirklich richtig? Wenn ja, wie komme ich
> auf diese Gestalt?

Das ist eine clevere Zusammenfassung.
Es wird dabei einfach ausgenutzt, dass
[mm] \bruch{(x-a)}{|x-a|} [/mm] (wenn [mm] x\ne [/mm] a) je nach Fall den Wert 1 oder den Wert  -1 annimmt.
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> Gruß, Marcel
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