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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 07.07.2013 | | Autor: | lunaris |
| Aufgabe | Für den Flächeninhalt A ( in m² ) der Fläche, die Algen an der Oberfläche eines 50 m² großen Klärbeckens bedecken, gilt in Abhängigkeit von der Zeit t ( in Wochen ) näherrungsweise die Formel
A(t) = 50 : ( 1 + 24 [mm] e^-^c^t [/mm] )
mit t [mm] \ge [/mm] 0 und c [mm] \in \IR [/mm] und c > 0.
Auf das mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann verzichtet werden.
Für die folgenden Teilaufgaben hat c den Wert 0,1 .
1- Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Algenteppichs zur Zeit t=0 und für t -> [mm] \infty
[/mm]
2- Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt A(t) streng monoton zunimmt.
3- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Algenteppichs zu dem Zeitpunkt, an dem das Wachstum am Größten ist.
4- Stellen Wie den Flächeninhalt A(t) für [mm] 0\let\le60 [/mm] graphisch dar. Tragen Sie auch die Asymptote |
Hallo,
erst einmal herzlichen Dank an Alle die uns bei unseren Problemen geholfen haben.
Meine beden Kinder haben das Abi bzw. BOS bestanden. Vielen herzlichen Dank !
Mein Sohn möchte aber noch ins mündliche um seine Mathenote zu verbessern ,
also folgende Fragen ;
zu 1 : t=0 A = 2
[mm] t\to \infty [/mm] A = 50
zu 2 Ich müsste doch A(t) nach t ableiten ? Wie mach ich das ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 07.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
> Für den Flächeninhalt A ( in m² ) der Fläche, die Algen
> an der Oberfläche eines 50 m² großen Klärbeckens
> bedecken, gilt in Abhängigkeit von der Zeit t ( in Wochen
> ) näherrungsweise die Formel
> A(t) = 50 : ( 1 + 24 [mm]e^-^c^t[/mm] )
> mit t [mm]\ge[/mm] 0 und c [mm]\in \IR[/mm] und c > 0.
> Auf das mitführen der Einheiten bei den Berechnungen kann
> verzichtet werden.
>
> Für die folgenden Teilaufgaben hat c den Wert 0,1 .
> 1- Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Algenteppichs zur
> Zeit t=0 und für t -> [mm]\infty[/mm]
>
> 2- Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt A(t) streng monoton
> zunimmt.
> 3- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Algenteppichs zu
> dem Zeitpunkt, an dem das Wachstum am Größten ist.
>
> 4- Stellen Wie den Flächeninhalt A(t) für [mm]0\let\le60[/mm]
> graphisch dar. Tragen Sie auch die Asymptote
> Hallo,
> erst einmal herzlichen Dank an Alle die uns bei unseren
> Problemen geholfen haben.
> Meine beden Kinder haben das Abi bzw. BOS bestanden. Vielen
> herzlichen Dank !
> Mein Sohn möchte aber noch ins mündliche um seine
> Mathenote zu verbessern ,
> also folgende Fragen ;
>
> zu 1 : t=0 A = 2
> [mm]t\to \infty[/mm] A = 50
> zu 2 Ich müsste doch A(t) nach t ableiten ? Wie mach ich
> das ?
>
Hallo, erstmal glückwunsch zum Abi ;)
die Funktion ist A(t) [mm] =\bruch{50}{1+24*e^{-ct}}=50*(1+24*e^{-ct})^{-1}
[/mm]
Jetzt ist das sehr leicht per kettenregel zu machen
[mm] A'(t)=\bruch{-50*24*-c*e^{-ct}}{(e^{-ct}*24+1)^2}
[/mm]
Damt jetzt die funktion streng monoton steigend ist muss A'(t)>0 sein für beliebige t.
Alternativ kann man zeigen:
A(t+1) > A(t) für alle beliebige t
Ich hoffe ich konnte helfen.
gruß tom
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