Asymptotische Gleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 09.06.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Beweisen Sie die asymptotische Gleichung:
[mm] \wurzel[3]{sin(x^{3})} [/mm] = x - [mm] \bruch{x^{7}}{18} [/mm] + [mm] o(x^{12}) [/mm] , x [mm] \to [/mm] 0 |
Leider weiß ich nicht mal genau was eine asymptotische gleichung ist, geschweige denn, wie ich sie beweise.
Ich weiß auch noch, dass das [mm] o(x^{12}) [/mm] bedeutet, dass da etwas steht das verschwindend klein ist, im Vergleich zu [mm] x^{12}
[/mm]
Könnt ihr mir da ein wenig weiterhelfen?
Danke schon mal!
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Einsetzen von [mm]x^3[/mm] in die Sinusreihe:
[mm]\sin{x^3} = x^3 - \frac{x^9}{3!} + \frac{x^{15}}{5!} + O(x^{21}) = x^3 \left( 1 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{12}}{5!} + O(x^{18}) \right)[/mm]
Dritte Wurzel ziehen:
[mm]\sqrt[3]{\sin{x^3}} = x \cdot \left( 1 - \left( \frac{x^6}{3!} - \frac{x^{12}}{5!} + O(x^{18}) \right) \right)^{\frac{1}{3}}[/mm]
Binomische Reihe:
[mm]\sqrt[3]{\sin{x^3}} = x \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} (-1)^k \left( \frac{x^6}{3!} - \frac{x^{12}}{5!} + O(x^{18} ) \right)^k[/mm]
Die ersten Summanden der unendlichen Reihe:
[mm]k=0: \ \ \ 1[/mm]
[mm]k=1: \ \ \ - \frac{1}{3} \left( \frac{x^6}{3!} - \frac{x^{12}}{5!} + O(x^{18}) \right)[/mm]
[mm]k=2: \ \ \ - \frac{1}{9} \left( \frac{x^{12}}{(3!)^2} + O(x^{18}) \right)[/mm]
Alle weiteren Summanden beginnen frühestens mit der Potenz [mm]x^{18}[/mm].
Jetzt kann man die ersten Glieder der Reihe in der Hauptrechnung oben angeben:
[mm]\sqrt[3]{\sin{x^3}} = x \cdot \left( 1 - \frac{1}{18} x^6 - \frac{1}{3240} x^{12} + O(x^{18}) \right) = x - \frac{1}{18} x^7 - \frac{1}{3240} x^{13} + O(x^{19})[/mm]
Und jetzt haben wir sogar etwas mehr gemacht als verlangt. Insbesondere gilt also:
[mm]\sqrt[3]{\sin{x^3}} = x - \frac{1}{18} x^7 + O(x^{13}) = x - \frac{1}{18} x^7 + o(x^{12})[/mm] für [mm]x \to 0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 24.06.2006 | | Autor: | papillon |
Hallo!
Wie kommst du denn darauf:
> [mm]k=2: \ \ \ - \frac{1}{9} \left( \frac{x^{12}}{(3!)^2} + O(x^{18}) \right)[/mm]
Kann man überhaupt 1/3 über 2 berechnen?
Danke für die Hilfe!
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Binomische Reihe