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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Banach - Raum
Banach - Raum < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Banach - Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 So 20.07.2008
Autor: Irmchen

Guten Abend alle zusammen!

Während ich hier das Thema Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten bearbeite, ist mir eine Bemerkung aufgefallen, die ich nicht so ganz verstehe.

Es heißt:

JEDER ENDLICH DIMENSIONALE NORMIERTE RAUM IST EIN BANACH - RAUM.

Mir ist klar, dass ein Banach - Raum ein normierter Raum ist, der vollständig ist. Das würde also bedeutet, dass in einem endlich dimensionalen normierten Raum jede Cuachy - Folge konvergert, Richtig?
Aber warum ist das so????
Mir ist das leider nicht klar, obwohl das wahrscheinlich eine sehr einfache Angelegenheit ist....

Hoffe, dass mir jemand helfen kann!

Viele Grüße
Irmchen
        
Bezug
Banach - Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 So 20.07.2008
Autor: Merle23


> Guten Abend alle zusammen!
>  
> Während ich hier das Thema Differentialgleichungen mit
> konstanten Koeffizienten bearbeite, ist mir eine Bemerkung
> aufgefallen, die ich nicht so ganz verstehe.
>  
> Es heißt:
>  
> JEDER ENDLICH DIMENSIONALE NORMIERTE RAUM IST EIN BANACH -
> RAUM.
>  
> Mir ist klar, dass ein Banach - Raum ein normierter Raum
> ist, der vollständig ist. Das würde also bedeutet, dass in
> einem endlich dimensionalen normierten Raum jede Cuachy -
> Folge konvergert, Richtig?
>  Aber warum ist das so????

Ein endlich-dimensionaler VR ist immer isomorph zu [mm] \IR^n [/mm] mit geeignetem n.
In endlich-dimensionalen, normierten Räumen sind alle Normen äquivalent zueinander.

Das wären so die beiden Brocken aus denen man einen Beweis bauen könnte.

Vielleicht kann man auch immer gleich einen passenden isometrischen Isomorphismus in den [mm] \IR^n [/mm] angeben, das wäre sogar der beste Beweis ^^

>  Mir ist das leider nicht klar, obwohl das wahrscheinlich
> eine sehr einfache Angelegenheit ist....
>  
> Hoffe, dass mir jemand helfen kann!
>  
> Viele Grüße
>  Irmchen
Bezug
                
Bezug
Banach - Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 Mo 21.07.2008
Autor: Irmchen

Vielen Dank für den Beitrag! Ich habe einen Beweis gefunden und denke es jetzt nachvollziehen zu können!

Viele Grüße
Irmchen
Bezug
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