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Cauchy-Riemann-DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Di 10.05.2005
Autor: Wurzelpi

Hi!

Anscheinen stehe ich auf dem Schlauch, zumindest sehe ich nicht, wie ich das machen soll!

Es sei [mm]f:\IC -> \IC [/mm]holomorph, [mm]g: \IC -> \IR[/mm] reell stetig diff´bar und die Ableitung von g verschwinde an keiner Stelle.
Ferner sei g(f(z))=0 für alle komplexen Zahlen z.

Zu zeigen: f~  ist konstant und damit auch f,

wobei [mm]f~:\IC -> \IR^2, f~(x,y) = (Re f(x+i*y), Im f(x+i*y)) = (u(x+i*y),v(x+i*y)) [/mm].

Mein erster Ansatz war ein Wiederspruchsbeweis, aber da kam ich auch nicht weiter.

Wäre nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte.



        
Bezug
Cauchy-Riemann-DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 10.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Wegen [mm] $g\circ [/mm] f(z)=0$ ist ja auch [mm] $\tilde g\circ\tilde [/mm] f(x,y)=0$, wobei [mm] $\tilde [/mm] g:\ [mm] \R^2\to \R,\ \tilde [/mm] g(x,y)=g(x+iy)$.

> wobei [mm]f~:\IC -> \IR^2, f~(x,y) = (Re f(x+i*y), Im f(x+i*y)) = (u(x+i*y),v(x+i*y)) [/mm].

Ist das so richtig? Müsste nicht [mm] $\tilde [/mm] f:\ [mm] \IR^2\to\IR^2$? [/mm]
Die Angabe, dass $g$ reell stetig differenzierbar ist, fasse ich so auf, dass [mm] $\tilde [/mm] g$ stetig differenzierbar ist.
Jetzt gilt:
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big)*\bruch{\partial}{\partial x} \tilde [/mm] f(x,y)$.
Analoges gilt für die Ableitung nach $y$.
Jetzt muss man nur noch benutzen, dass $g'$ nullstellenfrei ist...

Gruß, banachella


Bezug
                
Bezug
Cauchy-Riemann-DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Di 10.05.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo banachella!

Du hast natürlich recht: [mm] f~:\IR^2->\IR^2. [/mm]



Bezug
                
Bezug
Cauchy-Riemann-DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 10.05.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo banachella!

Dein Ansatz ist sehr gut, doch leider verstehe ich ein paar Sachen nicht:

1. Wie definierst du g(schlange)?
2. $ [mm] \bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big)\cdot{}\bruch{\partial}{\partial x} \tilde [/mm] f(x,y) $:

Nach Vor. ist doch g(f(z))=0. Wenn ich dazu die partielle Ableitung bilde, ist diese also auch 0.
Aber deshalb muss doch f(schlange) nicht konstant sein.
Oder doch?

Danke, dass DU mir hilfst!



Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Riemann-DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Di 10.05.2005
Autor: Julius

Hallo Wurzelpi!

> 1. Wie definierst du g(schlange)?

Sie definiert es, analog zu [mm] $\tilde{f}$, [/mm] als

[mm] $\tilde{g} [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR \\[5pt] (x,y) & \mapsto & g(x+iy). \end{array}$. [/mm]

>  2.

(0)  [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde{g}\circ \tilde{f}\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde{f}(x,y)\big)\cdot{}\bruch{\partial}{\partial x} \tilde{f}(x,y) [/mm]:

  

> Nach Vor. ist doch g(f(z))=0. Wenn ich dazu die partielle
> Ableitung bilde, ist diese also auch 0.

Stimmt! [ok] Daraus folgt: [mm] $\tilde{g} \circ \tilde{f} \equiv [/mm] 0$, also:

(1) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde{g}\circ \tilde{f}\big)(x,y)=0$ [/mm]

und

(2) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=0$. [/mm]

Weiterhin ist nach Voraussetzung

(3) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big) \ne [/mm] 0$

und

(4) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big) \ne [/mm] 0$.

Aus (0), (1) und (3) folgt aber doch:

(5) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x} \tilde{f}(x,y) [/mm] =0$.

Folgere ebenso aus (0), (2) und (4):

(6) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y} \tilde{f}(x,y) [/mm] =0$

>  Aber deshalb muss doch f(schlange) nicht konstant sein.

>  Oder doch?

Doch! Dies folgt dann aus (5) und (6).  

> Danke, dass DU mir hilfst!

Ich hoffe meine Vertretung war auch einigermaßen in Ordnung. ;-)

Viele Grüße
Julius  
  


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