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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Definition einer Gruppe
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Definition einer Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mi 11.03.2020
Autor: inkeddude

Hallo, ich möchte die Definition einer Gruppe so kompakt wie möglich halten.

Die gängige Definition einer Gruppe ist folgende:


Eine Gruppe ist ein Paar $(G, [mm] \cdot)$ [/mm] bestehend aus einer nicht-leeren Menge $G$ und einer zweistelligen Operation [mm] "$\cdot$", [/mm] d.h., einer Abbildung

[mm] $\cdot: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow: [/mm] (g, h) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h$,

so dass die folgenden Gruppenaxiome gelten:

$G1$ $(g [mm] \cdot [/mm] h) [mm] \cdot [/mm] k = g [mm] \cdot [/mm] (h [mm] \cdot k)\quad \forall [/mm] g, h, k [mm] \in [/mm] G$

$G2$ [mm] $\exists\; [/mm] e [mm] \in G\; :\; \forall\; [/mm] g [mm] \in G\; [/mm] : [mm] \; [/mm] e [mm] \cdot [/mm] g = g$

$G3$ [mm] $\forall\; [/mm] g [mm] \in G\; \exists\; [/mm] g' [mm] \in G\; :\; [/mm] g' [mm] \cdot [/mm] g = e$



Diese Definition ist für mich etwas zu lang und auch viel Schreibarbeit, denn wenn man z.B. Ringe und Körper definieren will, muss man auch immer dazu schreiben, dass $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] Abbildungen sind...

Außerdem ist bei einer Gruppe von einer Verknüpfung die Rede. Der Begriff der Verknüpfung ist aber allgemeiner. Und diese allgemeine Definition der Verknüpfung möchte ich bei der Definition der Gruppe einfließen lassen.


Daher dachte ich mir, dass ich für die Definition einer Gruppe ein
Begriff gebrauche, den ich davor definiere, nämlich eine "abgeschlossene Menge".

Und für die Definition einer abgeschlossenen Menge gebrauche ich ebenfalls einen Begriff, den ich  davor auch definiere, nämlich die "Verknüpfung".



Ich habe also unten $3$ Definitionen und ich frage euch, ob diese Definitionen Sinn machen (also die letzten 2, weil die erste ist aus Wikipedia).


Definition: Verknüpfung (Aus Wikipedia)



Seien [mm] $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, [/mm] B$ Mengen und [mm] $A:=\prod\limits_{i = 1}^{n} A_{i}$ [/mm] , wobei $n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm]
Als $n$ - stellige Verknüpfung wird eine Abbildung

[mm] $\varphi: [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] B, a [mm] \mapsto \varphi(a)$ [/mm] bezeichnet.



Für den Fall [mm] $A_{i} [/mm] = B$ für $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ heißt die Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] eine innere $n$ - stellige Verknüpfung (oder Operation) auf der Menge $B$.

Für eine innere zweistellige Verknüpfung verwendet man speziell die Infixnotation, d.h. statt [mm] $\varphi(a, [/mm] b)$ schreibt man [mm] $a\; \varphi \; [/mm] b$.



Für den Fall [mm] $A_{i} \neq [/mm] B$ für $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m$ und [mm] $A_{i} [/mm] = B$ für $m + 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ mit $0 [mm] \le [/mm] m [mm] \le [/mm] n$ heißt die Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] eine äußere $n$ - stellige Verknüpfung auf der Menge $B$ mit Operatorenbereich [mm] $\prod\limits_{i = 1}^{m} A_{i} [/mm] $.


Die Elemente von [mm] $\prod\limits_{i = 1}^{n} A_{i}$ [/mm] heißen dann Operatoren.



Defintion: Abgeschlossene Menge (selber definiert. Gibt's so eine ähnliche Definition woanders auch?)


    
Eine Abgeschlossene Menge ist ein $k + 1$ - Tupel $(M, [mm] \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k})$ [/mm] bestehend aus einer nicht-leeren Menge $M$ und $k$   $m$ - stelligen inneren Verknüpfungen [mm] $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k}$ [/mm] auf der Menge $M$.





Definition: Gruppe


Eine Gruppe ist eine abgeschlossene Menge $(G, [mm] \cdot)$, [/mm] so dass für alle $g, h, k [mm] \in [/mm] G$ die folgenden Axiome gelten:

$G1$ $(g [mm] \cdot [/mm] h) [mm] \cdot [/mm] k = g [mm] \cdot [/mm] (h [mm] \cdot k)\quad \forall [/mm] g, h, k [mm] \in [/mm] G$

$G2$ [mm] $\exists\; [/mm] e [mm] \in G\; :\; \forall\; [/mm] g [mm] \in G\; [/mm] : [mm] \; [/mm] e [mm] \cdot [/mm] g = g$

$G3$ [mm] $\forall\; [/mm] g [mm] \in G\; \exists\; [/mm] g' [mm] \in G\; :\; [/mm] g' [mm] \cdot [/mm] g = e$





Macht die Definition der abgeschlossenen Menge und die der Gruppe Sinn, oder sind da Logikfehler enthalten ?

Wie würdet ihr diese Definitionen schreiben, falls meine nicht ganz Sinn machen ?



Ich freue mich auf eure Antworten.

lg, inkeddude



Diese Frage habe ich auch unter https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=20129&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F gepostet

        
Bezug
Definition einer Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Mi 11.03.2020
Autor: ChopSuey

Hi,

>
> Eine Gruppe ist ein Paar [mm](G, \cdot)[/mm] bestehend aus einer
> nicht-leeren Menge [mm]G[/mm] und einer zweistelligen Operation
> "[mm]\cdot[/mm]", d.h., einer Abbildung
>  
> [mm]\cdot: G \times G \rightarrow: (g, h) \mapsto g \cdot h[/mm],
>  
> so dass die folgenden Gruppenaxiome gelten:
>  
> [mm]G1[/mm] [mm](g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)\quad \forall g, h, k \in G[/mm]
>  
> [mm]G2[/mm] [mm]\exists\; e \in G\; :\; \forall\; g \in G\; : \; e \cdot g = g[/mm]
>  
> [mm]G3[/mm] [mm]\forall\; g \in G\; \exists\; g' \in G\; :\; g' \cdot g = e[/mm]
>  
>

Ich finde diese Definition einer Gruppe äußerst ansprechend und greifbar. Ich teile die Einschätzung nicht, dass sie "lang" sei oder viel Schreibarbeit erfordere.

Auch den Begriff einer "abgeschlossenen Menge" finde ich ungeschickt gewählt. Abgeschlossene Mengen sind wesentlicher Bestandteil der Topologie.

Du möchtest vermutlich ausdrücken, dass die zugrundeliegende Menge bzgl. deiner binären Operation abgeschlossen ist?

Wie dem auch sei, ich finde, die gängige Definition in jeder Hinsicht geeigneter.



Bezug
        
Bezug
Definition einer Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 11.03.2020
Autor: HJKweseleit

Ist dein Beitrag ein Scherzkeks? Wir vergleichen mal, zunächst den zweiten Teil:

Üblich:

[mm]G1[/mm] [mm](g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)\quad \forall g, h, k \in G[/mm]
[mm]G2[/mm] [mm]\exists\; e \in G\; :\; \forall\; g \in G\; : \; e \cdot g = g[/mm]
[mm]G3[/mm] [mm]\forall\; g \in G\; \exists\; g' \in G\; :\; g' \cdot g = e[/mm]

Jetzt du:


[mm]G1[/mm] [mm](g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)\quad \forall g, h, k \in G[/mm]
[mm]G2[/mm] [mm]\exists\; e \in G\; :\; \forall\; g \in G\; : \; e \cdot g = g[/mm]  
[mm]G3[/mm] [mm]\forall\; g \in G\; \exists\; g' \in G\; :\; g' \cdot g = e[/mm]
  
Ist deine Definition kürzer/einfacher? Ich seh nix.

Nun zum ersten Teil:

Üblich:

Eine Gruppe ist ein Paar [mm](G, \cdot)[/mm] bestehend aus einer nicht-leeren Menge [mm]G[/mm] und einer zweistelligen Operation "[mm]\cdot[/mm]", d.h., einer Abbildung [mm]\cdot: G \times G \rightarrow: (g, h) \mapsto g \cdot h[/mm].

Nehmen wir als Beispiel [mm] M=\IQ [/mm] \ {1} und  als Verknüpfung [mm] \oplus: [/mm]   a [mm] \oplus [/mm] b = a+b-ab.

Was musst du hier tun? Dass die Menge nicht leer ist, ist trivial, dass musst du nicht mal erwähnen, ebenso nicht, dass die Verknüpfung zwei Zahlen zu einer neuen bildet. Aber du musst zeigen, dass du in der Menge bleibst (ja, man nennt das Abgeschlossenheit, das ist keine Erfindung von dir!).

Dass die Verknüpfung wieder in [mm] \IQ [/mm] liegt ist trivial, da [mm] \IQ [/mm] bezgl. +, - und . abgeschlossen ist. Sie darf aber nicht 1 geben. Annahme:  a [mm] \oplus [/mm] b = a+b-ab =1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-ab=1-b [mm] \Rightarrow [/mm] a(1-b)=1-b. Wegen b [mm] \in [/mm] M, also b [mm] \ne [/mm] 1 ,dividieren wir durch (b-1) [mm] \ne [/mm] 0 und erhalten a=1, aber a ist aus [mm] \IQ [/mm] \ {1}. Widerspruch. Also bleiben wir in der Menge M.

Jetzt du:

> Eine Abgeschlossene Menge ist ein [mm]k + 1[/mm] - Tupel [mm](M, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k})[/mm]
> bestehend aus einer nicht-leeren Menge [mm]M[/mm] und [mm]k[/mm]   [mm]m[/mm] -
> stelligen inneren Verknüpfungen [mm]\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k}[/mm]
> auf der Menge [mm]M[/mm].


Und jetzt nimm mal die obige Menge M mit der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] und wende das an auf:

> Seien [mm]A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, B[/mm] Mengen und
> [mm]A:=\prod\limits_{i = 1}^{n} A_{i}[/mm] , wobei [mm]n \in \mathbb{N}[/mm].
>  
> Als [mm]n[/mm] - stellige Verknüpfung wird eine Abbildung
>  
> [mm]\varphi: A \rightarrow B, a \mapsto \varphi(a)[/mm] bezeichnet.
>  
>
>
> Für den Fall [mm]A_{i} = B[/mm] für [mm]1 \le i \le n[/mm] heißt die
> Abbildung [mm]\varphi[/mm] eine innere [mm]n[/mm] - stellige Verknüpfung
> (oder Operation) auf der Menge [mm]B[/mm].
>  
> Für eine innere zweistellige Verknüpfung verwendet man
> speziell die Infixnotation, d.h. statt [mm]\varphi(a, b)[/mm]
> schreibt man [mm]a\; \varphi \; b[/mm].
>  
>
>
> Für den Fall [mm]A_{i} \neq B[/mm] für [mm]1 \le i \le m[/mm] und [mm]A_{i} = B[/mm]
> für [mm]m + 1 \le i \le n[/mm] mit [mm]0 \le m \le n[/mm] heißt die
> Abbildung [mm]\varphi[/mm] eine äußere [mm]n[/mm] - stellige Verknüpfung
> auf der Menge [mm]B[/mm] mit Operatorenbereich [mm]\prod\limits_{i = 1}^{m} A_{i} [/mm].
>  
>
> Die Elemente von [mm]\prod\limits_{i = 1}^{n} A_{i}[/mm] heißen
> dann Operatoren.

Das ist natürlich viel einfacher... Vor allem siehst du hier viel klarer, was du nun zu tun hast ...

Bezug
                
Bezug
Definition einer Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:26 Do 12.03.2020
Autor: inkeddude

Hallo!


Ich musste beim Lesen eurer Antworten selber etwas lachen, weil man tatsächlich denken könnte, meine Frage wäre nicht ernst gemeint :-)

Der Titel ist vielleicht etwas falsch gewählt und die Definition der Gruppe wird dadurch nicht einfacher.

Und ich denke auch nicht, dass ich den Begriff der Abgeschlossenheit erfunden habe.

Mir geht es um folgendes:

Ich möchte den Begriff der Verknüpfung und der Abgeschlossenheit einer Menge allgemein halten, so wie sie z.B. auf Wikipedia stehen.

Unter den Link https://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossenheit_(algebraische_Struktur) wird die Abgeschlossenheit definiert


und unter diesen Link https://de.wikipedia.org/wiki/Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik) die Verknüpfung.


Ich möchte also getrennt erst den Begriff der Verknüpfung definieren und dann den der Abgeschlossenheit einer Menge bzgl. einer oder mehreren Verknüpfung. Das aber ganz allgemein.



Und dann muss ich bei der Definition der Gruppe nur noch von einer abgeschlossenen Menge reden, die den Axiomen $G1- G3$ genügt.

Dass die Mengen $M$ z.B. nicht leer ist, ist zwar trivial, aber ich möchte das trotzdem einmal erwähnen.

Dass die Mengen abgeschlossen sein muss, kann man sich auch denken, aber auch das will ich irgendwo mal klar gemacht haben, da ich ganz am Anfang in der ersten Vorlesungen oft vergessen habe, eine Menge bzgl. einer Verknüpfung auf Abgeschlossenheit zu überprüfen.

Mir geht es nicht darum, dass die Definition der Gruppe einfacher wird, ich möchte sie nur etwas "kürzen", halt eben mit zwei weiteren Definitionen.

Aber dann kann ich z.b. bei einem Ring auch nur von einer abgeschlossenen Menge reden oder bei einem Körper.


Ich hoffe ich versteht, was ich meine.



Daher meine Frage: Machen meine Definitionen (die, die ich umgeschrieben habe) mathematisch Sinn, oder enthalten diese Fehler ?

lg, Inkeddude


Bezug
                        
Bezug
Definition einer Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:38 Do 12.03.2020
Autor: ChopSuey

Ich versteh's nicht. Du möchtest eine bereits aufs nötigste reduzierte Definition "vereinfachen", in dem du sie ausseinanderziehst und in 3 neue Definitionen zerlegst.

Auch, dass du immer von "abgeschlossenen Mengen" schreibst, ist irreführend. Was du sagen möchtest, ist, dass die zugrundeliegende Menge abgeschlossen ist bzgl. ihrer binären Operation.

Ein Vektorraum ist abgeschlossen bzgl. Multiplikation und Addition.

Ich verstehe nicht, was an der gängigen Definition einer Gruppe das Problem darstellt. Dort ist alles enthalten, was man braucht, um Gruppen sinnvoll zu definieren.

Ich bin nicht überzeugt.

Bezug
                        
Bezug
Definition einer Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Do 12.03.2020
Autor: fred97

Mit Verlaub, aber bei mir macht das alles den folgenden Eindruck: wenn es keine Probleme gibt, so muss man welche erfinden.

Du reitest auf dem Begriff der "Abgeschlossenheit" herum, was mich nicht wundert, wenn ich das leses:



"Eine Gruppe ist ein Paar $ (G, [mm] \cdot) [/mm] $ bestehend aus einer nicht-leeren Menge $ G $ und einer zweistelligen Operation "$ [mm] \cdot [/mm] $", d.h., einer Abbildung

$ [mm] \cdot: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow: [/mm] (g, h) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h $,

so dass die folgenden Gruppenaxiome gelten........ "





In

     "$ [mm] \cdot: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow: [/mm] (g, h) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h $"

fehlt etwas ! Nämlich wohin die Abbildung geht !




Schreibt man

  (*)  "$ [mm] \cdot: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G;  (g, h) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h $"

so ist glasklar, dass $g [mm] \cdot [/mm] h $ wieder zu $G$ gehört. Das ist Die Abgeschlossenheit.

(*) findet man in jedem Buch, auf Wiki, etc.. (nur bei Dir nicht.)


Wenn der Fred das Rad neu erfindet und es kommt das

    https://de.wikipedia.org/wiki/Vierzigeck#/media/Datei:01-Vierzigeck-0.svg

heraus, was sagst Du dann dazu ?


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