Definition elliptisch < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:00 Di 27.01.2015 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Ich habe Fragen zur Definition "elliptisch". Wir haben das in der Vorlesung so definiert:
Betrachte die PDGL
[mm] \sum_{|\alpha|=2} a_\alpha [/mm] (x) [mm] \partial^{\alpha} [/mm] u(x) + [mm] F(x,u(x),\nabla [/mm] u(x)) = 0
Der Ausdruck
[mm] \sum_{|\alpha|=2} a_\alpha [/mm] (x) [mm] \partial^{\alpha} [/mm] u(x) = [mm] \sum_{i,j=1}^n A_{ij} [/mm] (x) [mm] \frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i \partial x_j} [/mm]
heißt Hauptteil der Gleichung. Die Gleichung heißt elliptisch, falls A(x) nur positive oder nur negative Eigenwerte hat.
Soweit ok. Jetzt lese ich im Evans nach und sehe folgendes: Betrachte
Lu = [mm] -\sum_{i,j=1}^n a^{ij} [/mm] (x) [mm] u_{x_i x_j} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n b^i [/mm] (x) [mm] u_{x_i} [/mm] + c(x) u
Dann heißt L (gleichmäßig) elliptisch, falls [mm] \xi^T [/mm] A(x) [mm] \xi \geq \theta [/mm] | [mm] \xi|^2 [/mm] f.f.a. x und alle [mm] \xi. [/mm]
Aus dieser Definition von Evans würde dann ja folgen, dass A(x) positiv definit sein muss. Was ist dann mit der Poisson Gleichung [mm] \Delta [/mm] u = f...? Die wäre nach der Definition ja dann nicht elliptisch, sondern nur [mm] -\Delta [/mm] u = f.
Ich wäre froh, wenn mir jemand mit den beiden verschiedenen Definitonen weiterhelfen könnte. Sind beide richtig? Folgt die eine aus der anderen? Kann man OE annehmen, dass A positiv definit sein soll?
LG moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 31.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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