Differenzierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 06.05.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Sei [mm] g:[0,1]\rightarrow \IR [/mm] stetig und [mm] f:[0,1]\rightarrow \IR [/mm] , [mm] f(x)=\int_0^{x^2} [/mm] g(t)dt .
a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie ggf. die Ableitung von f.
b) Berechnen Sie die Ableitung von f mit [mm] f(x)=\int_0^{x^2} e^t [/mm] dt . |
Hallo zusammen,
ich habe das Problem, dass mir für die Aufgabe a) ein Ansatz fehlt. Ich habe mir bis jetzt gedacht, dass wenn g(t) nicht die Nullfunktion ist f(x) mindestens zwei mal stetig differenzierbar, weil die obere Grenze [mm] x^2 [/mm] und diese zwei mal differenzierbar ist. Ich bin mir allerdings sehr unsicher und bräuchte vielleicht auch einen richtigen Rechenweg als Lösung. Bei Aufgabenteil b) hab ich mir gedacht: [mm] \int_0^{x^3} e^tdt=e^{x^3}-1 [/mm] und damit ist die Ableitung [mm] f'(x)=3x^2*e^{x^3} [/mm] hoffe das stimmt soweit. Danke schonmal für eure Hilfe.
MfG
marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g:[0,1]\rightarrow \IR[/mm] stetig und [mm]f:[0,1]\rightarrow \IR[/mm]
> , [mm]f(x)=\int_0^{x^2}[/mm] g(t)dt .
> a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Differenzierbarkeit
> und bestimmen Sie ggf. die Ableitung von f.
> b) Berechnen Sie die Ableitung von f mit [mm]f(x)=\int_0^{x^2} e^t[/mm]
> dt .
> Hallo zusammen,
> ich habe das Problem, dass mir für die Aufgabe a) ein
> Ansatz fehlt. Ich habe mir bis jetzt gedacht, dass wenn
> g(t) nicht die Nullfunktion ist f(x) mindestens zwei mal
> stetig differenzierbar, weil die obere Grenze [mm]x^2[/mm] und diese
> zwei mal differenzierbar ist. Ich bin mir allerdings sehr
> unsicher und bräuchte vielleicht auch einen richtigen
> Rechenweg als Lösung
Wir definieren $ [mm] h(x)=\int_0^{x} [/mm] $ g(t)dt .
Was sagt der Hauptsatz der Diff. u. Integralrechnung über Differenzierbarkeitseigenschaften von h ?
Für Dein obiges f gilt: [mm] f(x)=h(x^2)
[/mm]
Kettenregel !
> . Bei Aufgabenteil b) hab ich mir
> gedacht: [mm]\int_0^{x^3} e^tdt=e^{x^3}-1[/mm] und damit ist die
> Ableitung [mm]f'(x)=3x^2*e^{x^3}[/mm] hoffe das stimmt soweit.
Ja
FRED
> Danke
> schonmal für eure Hilfe.
> MfG
> marmik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 06.05.2013 | | Autor: | marmik |
Danke für die schnelle Antwort.
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist h(t) diffbar und eine Stammfunktion von g(t). Außerdem ist h(t)=h(x)-h(0) und somit ist die Ableitung von h: h'(t)=h'(x)-h'(0)=h'(x)
Da f(x)=h(x²) ist f'(x)=h'(x²)*2x. Ist das soweit richtig?
marmik
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Hallo marmik,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
> ist h(t) diffbar und eine Stammfunktion von g(t). Außerdem
> ist h(t)=h(x)-h(0) und somit ist die Ableitung von h:
> h'(t)=h'(x)-h'(0)=h'(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da f(x)=h(x²) ist f'(x)=h'(x²)*2x. Ist das soweit
> richtig?
Ja!
> marmik
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
> ist h(t) diffbar und eine Stammfunktion von g(t).
am besten schreibst Du, dass $h\,$ eine Stammfunktion von $g\,$ ist!
> Außerdem
> ist h(t)=h(x)-h(0)
Aua, was meinst Du hier wirklich? $h(x)=h(x)-h(0)$??
> und somit ist die Ableitung von h:
> h'(t)=h'(x)-h'(0)=h'(x)
Wenn Du das obige korrigieren würdest, würde dann hier
$$h\,'(x)=h\,'(x)-h\,'(0)$$
stehen, was trivial ist!
> Da f(x)=h(x²) ist f'(x)=h'(x²)*2x.
Das ist richtig, aber Du solltest noch $h\,'(x^2)$ "anpassen" (das kannst Du umschreiben!)
Und nur, damit das ganze klarer wird:
Mit $h(x):=\int_0^x g(t)\,dt$ ist $h\,$ eine Stammfunktion von $g\,.$ Das heißt,
dass für alle $x\,$ gilt
$$\frac{d}{dx}h(x)=h\,'(x)=g(\red{x})\,.$$
(Links steht eine etwas unschöne Notation, sauberer schreibt man etwa:
$$\left.\frac{d}{dt}h(t)\right|_{x}$$
auch dafür. Gemeint ist halt die Ableitung von $h\,$ an der Stelle $x\,$!
In der Notation $\tfrac{d}{dx}h(x)$ könnte man halt denken, dass damit
komplett $h\,'$ gemeint ist. In dieser Interpretation könnte das obige dann
etwa auch so schreiben:
$$(\tfrac{d}{dt}h(t))(x)\,,$$
was sicher eine Motivation für die Einführung der Notation $\left.\frac{d}{dt}h(t)\right|_{x}$ ist!)
Mit $f(x):=h(x^2)$ folgt
$$f\,'(x)=2x*h\,'(x^2)\,,$$
(das hattest Du ja richtig) und wegen $h\,'(x)=g(x)$ kannst Du dann $h\,'(x^2)=...$ (?)
einsetzen (was gehört da hin?)!
P.S. Bitte schreibe nicht h², sondern $h^2$ - denn oft gehen in
Formeln diese "Tastaturexponenten" unter:
etwa
$h²$ sieht man nicht richtig: $h²$
Gruß,
Marcel
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