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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Doppelte Eigenwerte
Doppelte Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Doppelte Eigenwerte: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Fr 11.04.2014
Autor: MeineKekse

Aufgabe
Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix

[mm] A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -6 & 6 &10 \\ 9 &-3 & -4 \end{pmatrix} [/mm] mit dem charakteristischen Polynom [mm] P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12 [/mm]

Bestimmen Sie die Eigenwerte.



Hi, also zunächst setze ich das Polynom gleich 0, nach etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und 2. Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm]. Setze ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert wieder 2. Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich, dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?

Danke schonmal
Gruß Meine Kekse

        
Bezug
Doppelte Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Fr 11.04.2014
Autor: HJKweseleit


> Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix
>
> [mm] A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -6 & 6 &10 \\ 9 &-3 & -4 \end{pmatrix}[/mm]
> mit dem charakteristischen Polynom [mm]P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Eigenwerte.
>  
>
> Hi, also zunächst setze ich das Polynom gleich 0, nach
> etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und
> 2. Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme
> ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm]. Setze
> ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert
> wieder 2. Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix
> den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich,
> dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich
> das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass
> der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?


Widerspruch! Ein Polynom 3. Grades hat im Komplexen genau 3 Nullstellen, die Matrix also höchstens 3 Eigenwerte. Wenn du herausfindest, dass sie mehr als 2 Eigenwerte - sprich: mehr als zwei verschiedenen Nullstellen im char. Polynom - hat, muss sie genau drei verschiedene Eigenwerte haben, und keiner kann doppelt vorkommen.

Du hast deine Frage doch schon selbe beantwortet: Du findest heraus, welche Nullstellen das Polynom hat und welche dabei doppelt vorkommen.

Beispiel:

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} [/mm]

hat die Eigenwerte 1, 2 und 3,


[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm]
hat die Eigenwerte 1 und 2, aber 2 doppelt
und


[mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm]
hat den Eigenwert 2 dreifach.

>  
> Danke schonmal
> Gruß Meine Kekse


Bezug
        
Bezug
Doppelte Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Sa 12.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sei die reelle 3x3 Matrix
>
> [mm] A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -6 & 6 &10 \\ 9 &-3 & -4 \end{pmatrix}[/mm]
> mit dem charakteristischen Polynom [mm]P_A(\lambda) = -1\lambda^3 +\lambda^2 +8\lambda -12[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Eigenwerte.

> also zunächst setze ich das Polynom gleich 0,
> nach etwas ausklammern "errate" ich die beiden Eigenwerte -3 und 2

Hallo,

wenn Du das erraten hast, weißt Du, daß [mm] P_A(\lambda)=(\lambda +3)(\lambda-2)*(weiterer \quad [/mm] Linearfaktor),

und den fehlenden Linearfaktor (und damit die dritte Nullstelle) bekommst Du durch Polynomdivision.


>Alternativ nach herausfinden des Eigenwertes -3, komme

> ich per Polynomdivision auf [mm]-\lambda^2 +4\lambda -4[/mm].


Genau.

Jetzt weißt Du:

[mm] P_A(\lambda)=(\lambda [/mm] - [mm] (-3))(-\lambda^2 +4\lambda [/mm] -4)

[mm] =-(\lambda [/mm] - [mm] (-3))(\lambda^2 -4\lambda [/mm] +4)


> Setze
> ich dieses gleich 0 so erhalte ich als zweiten Eigenwert
> wieder 2.

Wenn Du die quadratische Gleichung [mm] \lambda^2 -4\lambda [/mm] +4 löst, bekommst Du
[mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=2, [/mm] also die doppelte Nullstelle 2.
Also ist [mm] \lambda^2 -4\lambda +4=(x-2)^2. [/mm]


Somit ist [mm] P_A(\lambda)=-(\lambda +3)(\lambda-2)^2, [/mm]

und wir haben eine einfache Nullstelle bei x=3- und eine doppelte bei x=2.

LG Angela



> Das Problem laut Lösung, besitzt diese Matrix
> den Eigenwert 2 gleich 2 mal. Meine Frage woher, weiß ich,
> dass diese Matrix mehr als 2 Eigenwerte hat und wenn ich
> das herausgefunden habe, wie komme ich dann darauf, dass
> der Eigenwert 2 hier doppelt vorkommt?
>  
> Danke schonmal
> Gruß Meine Kekse


Bezug
        
Bezug
Doppelte Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:37 Sa 12.04.2014
Autor: MeineKekse

Super vielen Dank ihr beiden, habs jetzt verstanden :)

Gruß
MeineKekse

Bezug
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