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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 01.06.2013 | | Autor: | humalog |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die folgende Gleichung erfüllt?
[mm] e^{-x} (1-e^{-x})=e^{-2x}-1 [/mm] |
Ich habe die Aufgabe berechnet aber wenn ich eine Probe mache, dann kommt ein falsches Ergebnis raus. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist, weil ich ihn einfach nicht finden kann.
Hier ist meine Rechnung:
[mm] e^{-x} (1-e^{-x})=e^{-2x}-1
[/mm]
[mm] e^{-x}-e^{-2x}=e^{-2x}-1
[/mm]
[mm] e^{-x}=2e^{-2x}-1
[/mm]
[mm] 1=2e^{-2x}-e^{-x}
[/mm]
[mm] 1=e^{-x}(2e^{-x}-1)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(2e^{-x}-1)}=e^{-x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(e^{-x}-2)}=2e^{-x}
[/mm]
ln1-ln [mm] e^{-x}-ln2=ln2e^{-x}
[/mm]
-ln [mm] e^{-x}-ln2=ln2+lne^{-x}
[/mm]
-ln [mm] e^{-x} [/mm] -ln [mm] e^{-x} [/mm] = ln2+ln2
x+x = ln4
2x = ln4
x = [mm] \bruch{ln4}{2}
[/mm]
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Hallo,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die folgende Gleichung erfüllt?
>
> [mm]e^{-x} (1-e^{-x})=e^{-2x}-1[/mm]
> Ich habe die Aufgabe berechnet
> aber wenn ich eine Probe mache, dann kommt ein falsches
> Ergebnis raus. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist,
> weil ich ihn einfach nicht finden kann.
Gleich vorneweg: es ist ein ziemlich dicker Schnitzer...
>
> Hier ist meine Rechnung:
>
> [mm]e^{-x} (1-e^{-x})=e^{-2x}-1[/mm]
>
> [mm]e^{-x}-e^{-2x}=e^{-2x}-1[/mm]
>
> [mm]e^{-x}=2e^{-2x}-1[/mm]
>
> [mm]1=2e^{-2x}-e^{-x}[/mm]
>
> [mm]1=e^{-x}(2e^{-x}-1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(2e^{-x}-1)}=e^{-x}[/mm]
>
Bis dahin ist es zwar richtig gerechnet, aber was du machst führt dich nicht zur Lösung, sondern verkompliziert die Sache unnötig.
>
> [mm]\bruch{1}{(e^{-x}-2)}=2e^{-x}[/mm]
>
> ln1-ln [mm]e^{-x}-ln2=ln2e^{-x}[/mm]
So, und hier hast du dir irgendwelche eigenen Logarithmengesetze ausgedacht, das ist aber definitiv falsch.
Bevor ich dir einen Tipp gebe, noch ein kleiner Einschub. Ich stelle zunehmend fest, dass die Kompetenzen in Sachen Gleichungen lösen bei vielen Schülern und Studenten immer mehr abnehmen. Ich möchte jetzt hier nicht über GTR&Co. sinnieren, sondern auf etwas anderes aufmerksam machen: es wird in der Schule viel zu wenig darauf hingewiesen, dass die Lösbarkeit von Gleichungen nicht selbstverständlich ist, sondern die große Ausnahme! Man lernt in der Schule genau die Lösungswege für genau zwei Arten von Gleichungen:
- Lineare Gleichungen (Äquivalenzumformungen)
- Quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel bzw. quadratische Ergänzung und Radizieren)
Die Mathematik stellt darüber hinaus noch Lösungswege für Gleichungen dritter und vierter Ordnung bereit, die aber für gewöhnlich in der Schule nicht behandelt werden, da man hier in jedem Fall mit komplexen Zahlen arbeiten muss.
So, vor diesem Hintergrund folgende Antwort. Deine Gleichung sollte ja irgendwie lösbar sein, und das würde bedeuten, man kann sie entweder auf eine lineare oder eine quadratische Gleichung zurückführen. Letzteres ist der Fall. Bringe dazu deine Gleichung auf die Nullform (flapsig: alles auf eine Seite  ) und substituiere anschließend
[mm] z=e^{-x}
[/mm]
Die entstandene Gleichung in z ist quadratisch. Ermittle ihre Lösungen und prüfe, welche davon sich zurücksubstituieren lassen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Sa 01.06.2013 | | Autor: | humalog |
Substituieren war nach dem 2. Mal ausmultiplizieren auch mein erster Gedanke, aber den habe ich nicht ausgeführt weil ich mich von dem Term verunsichern ließ.
Danke für deine Hilfe!
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