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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren
Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 29.06.2014
Autor: Pingumane

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix

Ma = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & a } [/mm]   a element von R

a) Begründen Sie, warum die Matrix Ma nur reelle Eigenwerte hat.

b) Bestimmen Sie a e R so, dass Ma den Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 2 besitzt.

c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von Ma zum Paramterwert a aus b).

a) und b) habe ich gelöst.
a = 4

So, nun zur c)

lambda = 4

(A - 4 * Id3) * x = 0

[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = 0

-2*x1 = 0
2*x2 = 0
2*x3 = 0

...ja. Irgendwie läuft es bei mir nicht.
Die richtigen Lösungen lauten:

v1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
v2 ) [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm]

Wo liegt mein Fehler?

        
Bezug
Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 So 29.06.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Gegeben sei die Matrix
>  
> Ma = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & a }[/mm]   a
> element von R
>  
> a) Begründen Sie, warum die Matrix Ma nur reelle
> Eigenwerte hat.
>  
> b) Bestimmen Sie a e R so, dass Ma den Eigenwert 2 mit
> algebraischer Vielfachheit 2 besitzt.
>  
> c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von Ma zum Paramterwert
> a aus b).
>  a) und b) habe ich gelöst.
>  a = 4
>  
> So, nun zur c)
>  
> lambda = 4

Dein [mm] $\lambda$ [/mm] ist 2. a ist 4.

> (A - 4 * Id3) * x = 0
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = 0
>  
> -2*x1 = 0
>  2*x2 = 0
>  2*x3 = 0
>  
> ...ja. Irgendwie läuft es bei mir nicht.
>  Die richtigen Lösungen lauten:
>  
> v1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  v2 ) [mm]\vektor{ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>  
> Wo liegt mein Fehler?


Bezug
                
Bezug
Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 So 29.06.2014
Autor: Pingumane

Okay, dann habe ich aber so einiges falsch gemacht.

Mein Lösungsweg:

pa(z) = det [mm] \pmat{ 2-z & 0 & 0 \\ 0 & 4-z & 2 \\ 0 & 2 & a-z } [/mm]

= (2-z) * ( (4-z) * (a-z) -4 )     wenn a = 4

= (2-z) * ( [mm] (4-z)^2 [/mm] - 4 )

=>  ( [mm] (z-4)^2+4 [/mm] ) * (z-2)

Daraus habe ich dann die 4 für Lambda abgelesen.

Wo liegt hier dann der Fehler? (Ich fürchte so ziemlich in der ganzen Rechnung....)

Bezug
                        
Bezug
Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 So 29.06.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Okay, dann habe ich aber so einiges falsch gemacht.
>  
> Mein Lösungsweg:
>  
> pa(z) = det [mm]\pmat{ 2-z & 0 & 0 \\ 0 & 4-z & 2 \\ 0 & 2 & a-z }[/mm]
>  
> = (2-z) * ( (4-z) * (a-z) -4 )     wenn a = 4
>  
> = (2-z) * ( [mm](4-z)^2[/mm] - 4 )

Bis hierhin ist es richtig.

>  
> =>  ( [mm](z-4)^2+4[/mm] ) * (z-2)

Das ist rein formal schon falsch. Man kann keine Terme folgern, nur Aussagen.


> Daraus habe ich dann die 4 für Lambda abgelesen.

Ich nehme an mit lambda meinst du die Eigenwerte, sprich die Nullstellen des charakt. Polynoms. D.h. neben z=2 sind also die Lösungen von [mm] $(z-4)^2+4=0$ [/mm] gesucht. (4 ist keine, wie man durch Einsetzen sieht). Verwende dazu eine Lösungsmethode deiner Wahl.  

> Wo liegt hier dann der Fehler? (Ich fürchte so ziemlich in
> der ganzen Rechnung....)


Bezug
                                
Bezug
Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 So 29.06.2014
Autor: Pingumane

NULLSTELLEN! Das war das Stichwort. Vielen lieben Dank.
Ein Wort und alles macht wieder Sinn.

Klar, wenn einer der Terme null ist... und 4-2 = [mm] 2^2 [/mm] und 4-4 = 0.... Danke für den Hinweis, das habe ich vollkommen übersehen :)

Bezug
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