matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteEigenwerte einer Matrix
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte einer Matrix
Eigenwerte einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte einer Matrix: Eigenwerte aus Summe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:21 Fr 17.08.2018
Autor: euklidischerraum

Aufgabe
Lässt sich der größte Eigenwert  [mm] \lambda_{c} [/mm] einer quadratischen symmetrischen realen Matrix  C mit C=A+B, wobei A und B ebenfalls symmetrische reale Matrizen sind, als Summe der beiden größten Eigenwerte von A und B ausdrücken?

Hallo Zusammen,

ich wollte mich erkundigen, ob es einen Satz gibt, der Aussagen über die Eigenwerte einer Matrix, welche sich als Summe zweier Matrizen darstellen lässt macht.


Wenn ja, wo finde ich diesen (mit entsprechenden Beweis wäre ideal).


Viele Grüße und schonmal Danke ;)

        
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Fr 17.08.2018
Autor: luis52


> Lässt sich der größte Eigenwert  [mm]\lambda_{c}[/mm] einer
> quadratischen symmetrischen realen Matrix  C mit C=A+B,
> wobei A und B ebenfalls symmetrische reale Matrizen sind,
> als Summe der beiden größten Eigenwerte von A und B
> ausdrücken?

Moin, ich meine nein. Betrachte die beiden Diagonalmatrizen [mm] $A=\operatorname{diag}(1,-1)$ [/mm] und [mm] $B=\operatorname{diag}(-1,1)$ [/mm] ...


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Fr 17.08.2018
Autor: euklidischerraum

Danke für deine Antwort,


ich weißt, dass das Allgemein nicht geht.

Aber vielleicht gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen an die Matrizen.


Ich habe da mal etwas gehört, ist aber sehr wage.


Viele Grüße


Bezug
        
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Fr 17.08.2018
Autor: Fulla

Hallo euklidischerraum,

schau dir mal diesen Thread an.

Offenbar müssen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] kommutieren, das heißt es muss [mm]AB=BA[/mm] gelten, damit sich die Eigenwerte von [mm]C=A+B[/mm] als Summe der Eigenwerten von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] darstellen lassen.

Einen Beweis dafür habe ich leider nicht. Auch sehe ich nicht unbedingt eine Möglichkeit, Aussagen über den (betragsmäßig?) größten Eigenwert von [mm]C[/mm] machen zu können.
Betrachte zum Beispiel
[mm]A=\begin{pmatrix}-2&5\\5&-2\end{pmatrix}[/mm] und [mm]B=\begin{pmatrix}6&-4\\-4&6\end{pmatrix}[/mm].
Es gilt $AB=BA$ und
[mm]A[/mm] hat die Eigenwerte -7 und 3,
[mm]B[/mm] hat die Eigenwerte 2 und 10.
[mm]A+B[/mm] hat die Eigenwerte [mm]3\ (=-7+10)[/mm] und [mm]5\ (=3+2)[/mm].

Meine Vermutung ist, dass (zumindest im Fall [mm]\mathbb R^{2\times 2}[/mm]) die Summe der jeweils betragsmäßig größten Eigenwerte von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwar ein Eigenwert von [mm]C[/mm] ist, man aber nicht davon ausgehen kann, dass die auch der betragsmäßig größte ist.

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Fr 17.08.2018
Autor: euklidischerraum

Danke du hast mir gerade echt geholfen,
ich habe glaube ich was gefunden.


Wenn A und B kommutieren, dann sind sie doch simultan diagonalisierbar, dh.

es existiert eine Matrix S, so dass:


A= [mm] S^{-1}D_{1}S [/mm] und B= [mm] S^{-1}D_{2}S [/mm]
und C=A+B [mm] =S^{-1}(D_{1}+D_{2})S [/mm] jetzt muss ich das noch irgendwie beweisen und mir überlegen wie sich die Eigenwerte von C genau ergeben.

Viele Grüße


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Sa 18.08.2018
Autor: fred97


> Danke du hast mir gerade echt geholfen,
> ich habe glaube ich was gefunden.
>  
>
> Wenn A und B kommutieren, dann sind sie doch simultan
> diagonalisierbar, dh.
>  
> es existiert eine Matrix S, so dass:
>  
>
> A= [mm]S^{-1}D_{1}S[/mm] und B= [mm]S^{-1}D_{2}S[/mm]
>  und C=A+B [mm]=S^{-1}(D_{1}+D_{2})S[/mm] jetzt muss ich das noch
> irgendwie beweisen und mir überlegen wie sich die
> Eigenwerte von C genau ergeben.

Das kannst Du doch jetzt wunderbar ablesen:

Es ist [mm] D_1=diag( \lambda_1,...., \lambda_n) [/mm] und [mm] D_2=diag( \mu_1,..., \mu_n), [/mm] wobei die [mm] \lambda_j [/mm] die Eigenwerte von A sind und die [mm] \mu_j [/mm] die von B.

Dann hat C die Eigenwerte [mm] \lambda_j [/mm] + [mm] \mu_j. [/mm]

>  
> Viele Grüße
>  


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Sa 18.08.2018
Autor: euklidischerraum

Hallo Fred,

Die Eigenwerte von D1 und D2 sind aber nicht sortiert, so dass ich zum Beispiel sagen kann:
[mm] \lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots, [/mm] oder ?


Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Sa 18.08.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Die Eigenwerte von D1 und D2 sind aber nicht sortiert, so
> dass ich zum Beispiel sagen kann:
>  [mm]\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots,[/mm] oder ?

Ja, da hast du recht.

Mir ist noch was eingefallen.  Google  mal nach dem Satz von Weyl (fuer Matrizen )


>  


Bezug
        
Bezug
Eigenwerte einer Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 26.08.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]