Gleichmäßige Konv. Funkt.folge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenfolge
[mm] f_{n}:\begin{cases} \IR\rightarrow\IR \\ x\mapsto\wurzel[n]{|sin(nx)|} \end{cases}
[/mm]
Überprüfen Sie diese Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und ermitteln Sie, falls möglich, die Grenzfunktion f(x) |
Wir unterscheiden 2 Fälle:
F1) [mm] x=\bruch{\pi}{2}k [/mm] mit [mm] k\in\IN
[/mm]
dann: |sin(nx)|=1 [mm] \Rightarrow \wurzel[n]{|sin(nx)|}=1\to1 [/mm] (für [mm] n\to\infty)
[/mm]
F2) [mm] x\not=\bruch{\pi}{2}k [/mm] mit [mm] k\in\IN
[/mm]
dann: |sin(nx)|<1 [mm] \Rightarrow \wurzel[n]{|sin(nx)|}\to0 [/mm] (für [mm] n\to\infty)
[/mm]
Die Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] konvergiert also punktweise:
[mm] f_{n}(x)\to f(x)=\begin{cases} 1, \forall x=\bruch{\pi}{2}k , k\in\IN \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Nun müssen wir noch gleichmäßige Konvergenz überprüfen, indem wir die Supremumsnorm bilden:
[mm] ||f_{n}-f||_{\IR}=sup(\{|f_{n}(x)-f(x)||x\in\IR\})
[/mm]
(Dazu hätte ich mal eine Frage: Undzwar: Kann ich mir nun sowohl x, als auch n aussuchen, um zu zeigen, dass die Supremumsnorm größer , oder zumindest gleich einer Zahl q>0 ist? Oder darf ich mir nur irgendein x auswählen? Ich weiß, dass es in diesem Fall egal ist, aber allgemein auf die Supremumsnorm bezogen, geht das?)
Auf jeden Fall, lässt sich kein x finden, sodass die Supremumsnorm nicht gegen 0 konvergiert (denn ist x ein natürliches Vielfaches von [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] so liegt Konvergenz gegen 0 vor und wenn es kein natürliches Vielfaches von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist, so ist dies ebenfalls der Fall) und somit muss die Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergent gegen f(x) sein.
Habe ich hier alles richtig gemacht oder stimmt da etwas nicht?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
> Gegeben sei die Funktionenfolge
> [mm]f_{n}:\begin{cases} \IR\rightarrow\IR \\ x\mapsto\wurzel[n]{|sin(nx)|} \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen Sie diese Funktionenfolge auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz und ermitteln Sie, falls
> möglich, die Grenzfunktion f(x)
> Wir unterscheiden 2 Fälle:
> F1) [mm]x=\bruch{\pi}{2}k[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
> dann: |sin(nx)|=1 [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{|sin(nx)|}=1\to1[/mm]
> (für [mm]n\to\infty)[/mm]
> F2) [mm]x\not=\bruch{\pi}{2}k[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
> dann: |sin(nx)|<1 [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{|sin(nx)|}\to0[/mm]
> (für [mm]n\to\infty)[/mm]
sicher? Ich weiß nämlich i.a. nicht, was [mm] $\sin(nx)\,$ [/mm] macht. Und es gilt zudem
[mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
für festes $r > 1$ oder für festes $0 < r [mm] \le 1\,.$
[/mm]
(Es gilt auch
[mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$
und damit auch
[mm] $\sqrt[n]{1/n} \to 1\,,$
[/mm]
vielleicht kann man mit der letzten Beziehung hier was zusammenfriemeln?)
> Die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] konvergiert also punktweise:
> [mm]f_{n}(x)\to f(x)=\begin{cases} 1, \forall x=\bruch{\pi}{2}k , k\in\IN \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
Deine [mm] $f_n$ [/mm] sind alle stetig. Sicher hattet ihr einen Satz der Art:
"Konvergiert eine Funktionenfolge STETIGER Funktionen gleichmäßig gegen
eine Grenzfunktion [mm] $f\,,$ [/mm] so muss [mm] $f\,$ [/mm] stetig sein."
Beachte nun: Wenn eine Funktionenfolge punktweise konvergiert, so muss,
falls sie auch gleichmäßig konvergiert, die "gleichmäßige Grenzfunktion" mit
der "punktweisen Grenzfunktion" übereinstimmen (das folgt wegen der
Eindeutigkeit des Grenzwertes in metrischen Räumen).
Was zeigt also Deine obige Grenzfunktion hier schon? (Edit: Bzw. Du solltest
auch die pktw. Grenzfunktion nochmal korrigieren - aber auch die korrigierte
Version wird - vermutlich - unstetig sein. Ich vermute, dass [mm] $0\,$ [/mm] eine Unstetigkeits-
stelle sein wid.)
(Damit man sich Deine anderen Überlegungen aber auch mal anguckt, habe
ich die Frage mal nur auf halb beantwortet gesetzt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktionenfolge
> [mm]f_{n}:\begin{cases} \IR\rightarrow\IR \\ x\mapsto\wurzel[n]{|sin(nx)|} \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen Sie diese Funktionenfolge auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz und ermitteln Sie, falls
> möglich, die Grenzfunktion f(x)
> Wir unterscheiden 2 Fälle:
> F1) [mm]x=\bruch{\pi}{2}k[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
> dann: |sin(nx)|=1 [mm]
da hast Du einen kleinen Fehler. Welche Bedingung muss hier [mm] $k*n\,$ [/mm] erfüllen?
(Beachte: Für [mm] $k=3\,$ [/mm] und [mm] $n=4\,$ [/mm] ist [mm] $\sin(nx)=\sin(12*\pi/2)=\sin(6\pi)=0$!)
[/mm]
P.S. Teste solche *allgemeinen Gleichungen* immer mal für ein paar Werte.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:48 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
In [mm] $x=\pi/2$ [/mm] ist Deine Funktionenfolge nicht konvergent, da zwei Häufungspkte.. Wir haben
also noch nichtmal pktw. Kgz..
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ach ja! Stimmt, du hast recht! Das fiel mir gar nicht auf :) Da wir zwei Häufungspunkte 0 und 1 haben, kann die Funktionenfolge nicht einmal punktweise konvergieren :)
Dankeschön :)
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