Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | [mm] h:\IR^2 [/mm] \ {(x,0): [mm] x\in\IR} [/mm] -> [mm] \IR, h(x,y):=\bruch{x}{y}
[/mm]
zeigen sie, dass h für (x,y) -> (0,0) keinen grenzwert besitzt |
ich finds irgendwie ziemlich offensichtlich, aber ich weiß nicht wie ich hier widerlegen soll, die definition hier ist ja
für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] |\bruch{x}{y}-h| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
scheinbar muss ich wieder was definieren, bekomme ich par tipps?
danke!
ki
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Moin!
> [mm]h:\IR^2[/mm] [mm] \backslash \{(x,0): x\in\IR\} [/mm] -> [mm] \IR, (x,y):=\bruch{x}{y}
[/mm]
>
> zeigen sie, dass h für (x,y) -> (0,0) keinen grenzwert
> besitzt
> ich finds irgendwie ziemlich offensichtlich, aber ich
> weiß nicht wie ich hier widerlegen soll, die definition
> hier ist ja
> für jedes [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0 mit
> [mm]|\bruch{x}{y}-h|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> scheinbar muss ich wieder was definieren, bekomme ich par
> tipps?
Du kommst besser weg, wenn du zwei gegen (0,0) konvergente Folgen von Punkten in [mm] \IR^2\backslash\{(x,0):x\in\IR\} [/mm] findest, für die die Bildfolgen gegen unterschiedliche Werte streben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
> Du kommst besser weg, wenn du zwei gegen (0,0) konvergente
> Folgen von Punkten in [mm]\IR^2\backslash\{(x,0):x\in\IR\}[/mm]
> findest, für die die Bildfolgen gegen unterschiedliche
> Werte streben.
>
meinst du, wie z.b.
[mm] a_n:=(\bruch{1}{n},0) b_n:=\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n^2}?
[/mm]
so hätten sie unterschiedl. grenzwertte, wärs dann damit gezeigt?
danke
ki
> LG
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Hallo kioto,
> hallo,
> > Du kommst besser weg, wenn du zwei gegen (0,0)
> konvergente
> > Folgen von Punkten in [mm]\IR^2\backslash\{(x,0):x\in\IR\}[/mm]
> > findest, für die die Bildfolgen gegen unterschiedliche
> > Werte streben.
> >
> meinst du, wie z.b.
> [mm]a_n:=(\bruch{1}{n},0) b_n:=\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n^2}?[/mm]
>
> so hätten sie unterschiedl. grenzwertte, wärs dann damit
> gezeigt?
Ja, nur ist [mm] $a_n$ [/mm] keine gute Wahl!
Die y-Komponente sollte [mm] $\neq [/mm] 0$ sein.
Nimm die einfachsten Folgen: [mm] $a_n=(1/n,1/n), b_n=(-1/n,1/n)$
[/mm]
Allerdings reicht hier dein [mm] $b_n$ [/mm] alleine schon aus, da [mm] $h(b_n)\to\infty$ [/mm] !
> danke
> ki
> > LG
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke!
| Aufgabe | [mm] u:\IR^2 [/mm] \ [mm] {(x,0):x\in\IR} [/mm] -> [mm] \IR, u(x,y):=xarctan(\bruch{1}{y})
[/mm]
zeigen sie, dass
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}u(x,y)=0 [/mm] |
ich kann ja hier wieder was definieren, wie z.b.
[mm] x=\bruch{1}{k}, [/mm] y=k
dann mache ich
[mm] \limes_{(k,k)\rightarrow(0,0)}u(x,y)
[/mm]
ist das richtig?
stimmt die notation so? weil in der aufgabe steht ja (x,y) gegen (0,0), aber ich hab dann (k,k) gegen 0
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Hallo nochmal,
> danke!
>
> [mm]u:\IR^2[/mm] \ [mm]{(x,0):x\in\IR}[/mm] -> [mm]\IR, u(x,y):=xarctan(\bruch{1}{y})[/mm]
>
> zeigen sie, dass
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}u(x,y)=0[/mm]
>
> ich kann ja hier wieder was definieren, wie z.b.
> [mm]x=\bruch{1}{k},[/mm] y=k
Die Folge [mm] $(x_k,y_k)=(1/k,k)$ [/mm] strebt aber nicht gegen $(0,0)$ !
> dann mache ich
> [mm]\limes_{(k,k)\rightarrow(0,0)}u(x,y)[/mm]
> ist das richtig?
> stimmt die notation so? weil in der aufgabe steht ja (x,y)
> gegen (0,0), aber ich hab dann (k,k) gegen 0
Nutze lieber die Beschränktheit des [mm] $\arctan$ [/mm] aus!
Wenn [mm] $|y|\to [/mm] 0$, dann geht [mm] $\frac{1}{|y|}\to [/mm] ??$
Und damit [mm] $\arctan(1/|y|)$ [/mm] gegen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
>
> > danke!
> >
> > [mm]u:\IR^2[/mm] \ [mm]{(x,0):x\in\IR}[/mm] -> [mm]\IR, u(x,y):=xarctan(\bruch{1}{y})[/mm]
>
> >
> > zeigen sie, dass
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}u(x,y)=0[/mm]
> >
> > ich kann ja hier wieder was definieren, wie z.b.
> > [mm]x=\bruch{1}{k},[/mm] y=k
>
> Die Folge [mm](x_k,y_k)=(1/k,k)[/mm] strebt aber nicht gegen [mm](0,0)[/mm]
> !
ja schon, aber wenn ich die in die fkt einsetze, dann gehts doch gegen 0, oder doch nicht?
> > dann mache ich
> > [mm]\limes_{(k,k)\rightarrow(0,0)}u(x,y)[/mm]
> > ist das richtig?
> > stimmt die notation so? weil in der aufgabe steht ja
> (x,y)
> > gegen (0,0), aber ich hab dann (k,k) gegen 0
>
> Nutze lieber die Beschränktheit des [mm]\arctan[/mm] aus!
>
> Wenn [mm]|y|\to 0[/mm], dann geht [mm]\frac{1}{|y|}\to ??[/mm]
[mm] \bruch{1}{0}? [/mm] wie geht das? vielleicht gegen unendlich?
> Und damit [mm]\arctan(1/|y|)[/mm] gegen?
gegen [mm] \bruch{\pi}{2}?
[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
totale unsicherheit.......
ki
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Hallo nochmal,
> hallo,
> >
> > > danke!
> > >
> > > [mm]u:\IR^2[/mm] \ [mm]{(x,0):x\in\IR}[/mm] -> [mm]\IR, u(x,y):=xarctan(\bruch{1}{y})[/mm]
>
> >
> > >
> > > zeigen sie, dass
> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}u(x,y)=0[/mm]
> > >
> > > ich kann ja hier wieder was definieren, wie z.b.
> > > [mm]x=\bruch{1}{k},[/mm] y=k
> >
> > Die Folge [mm](x_k,y_k)=(1/k,k)[/mm] strebt aber nicht gegen [mm](0,0)[/mm]
> > !
> ja schon, aber wenn ich die in die fkt einsetze, dann
> gehts doch gegen 0, oder doch nicht?
Und? Was gewinnst du damit?
>
> > > dann mache ich
> > > [mm]\limes_{(k,k)\rightarrow(0,0)}u(x,y)[/mm]
> > > ist das richtig?
> > > stimmt die notation so? weil in der aufgabe steht ja
> > (x,y)
> > > gegen (0,0), aber ich hab dann (k,k) gegen 0
> >
> > Nutze lieber die Beschränktheit des [mm]\arctan[/mm] aus!
> >
> > Wenn [mm]|y|\to 0[/mm], dann geht [mm]\frac{1}{|y|}\to ??[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{0}?[/mm] wie geht das? vielleicht gegen unendlich? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Und damit [mm]\arctan(1/|y|)[/mm] gegen?
> gegen [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> totale unsicherheit.......
Damit hast du doch alles beisammen:
[mm]|x\cdot{}\arctan(1/y)| \ \le |x|\cdot{}\frac{\pi}{2}[/mm] für alle [mm]y\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
Und was passiert hier nun für [mm]x\to 0[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo,
> [mm]|x\cdot{}\arctan(1/y)| \ \le |x|\cdot{}\frac{\pi}{2}[/mm] für
> alle [mm]y\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
>
> Und was passiert hier nun für [mm]x\to 0[/mm] ?
dann geht alles gegen 0?
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 23.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, zwar nicht alles, aber wenigstens
$ [mm] |x\cdot{}\arctan(1/y)| [/mm] $
Gruss leduart
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