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| Aufgabe | Grenzwert bilden von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{2(n+1)})^{2n-1} [/mm] |
Hallo.
In der Lösung steht als Ergebnis: e
Hab leider keine Ahnung wie man auf sowas kommt. Wenn ich einfach bloß unendlich für n einsetze geht das geht es doch gegen 1 oder?
Ich könnte doch für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{2(n+1)})^{2n-1}
[/mm]
auch schreiben:
[mm] 1^{2n-1}+(\bruch{1}{2(n+1)})^{2n-1}
[/mm]
was ja dann 1 + 0 wäre oder?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Ich kann dir zwar nicht wirklich helfen, aber ich kann dir sagen, dass diese Umformung nicht möglich ist.
(1+2)² wäre ja auch nich 1²+2².
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mi 26.07.2006 | | Autor: | MasterEd |
Also Deine Umformung ist tatsächlich falsch, wie ja schon festgestellt wurde.
Aber ersetze doch mal $z=2n-1$. Betrachte dann
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{2(n+1)})^{2n-1}= \limes_{z\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{z+2})^z$$
[/mm]
Demnach hat auch
[mm] $$\limes_{z\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{z+2})^{z+2}$$
[/mm]
den gleichen Grenzwert. Jetzt könnten wir wieder ersetzen $w=z+2$. Dann ist
[mm] $$\limes_{w\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{w})^w=e,$$
[/mm]
was zu zeigen war.
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Danke für die Antwort. Ich kann nur mit e nichts anfangen. Das ist doch die Eulersche Zahl oder? Ich hab mich nur gefragt wieso da e rauskommt? Wie seh ich das?
Gruß, Esperanza
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Ahoi Esperanza,
ganz einfach weil ein Grenzwert dieser Form immer gleich e ist. Das steht auch in jeder Formelsammlung drin.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e
[/mm]
Welche Gestalt dabei das n annimmt ist egal.
Liebe Grüße z(7a)q
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