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Guten Abend !
> Zitate aus Wikipedia:
>
> ![[]](/images/popup.gif) 1. Definitionsmenge:
>
> In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder
> Definitionsbereich jene Teilmenge einer Grundmenge [...]
>
> 2. Urbild:
>
> [...]Das Urbild einer Menge [mm]M[/mm] unter einer Funktion [mm]f[/mm] ist
> die Menge der Elemente, die durch [mm]f[/mm] auf ein Element in [mm]M[/mm]
> abgebildet werden. Ein Element [mm]x[/mm] aus der Definitionsmenge
> von [mm]f[/mm] liegt also genau dann im Urbild von [mm]M[/mm], wenn [mm]f(x)[/mm] in [mm]M[/mm]
> liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge [mm]B[/mm]
> einer Funktion [mm]f : A \to B[/mm] eine Teilmenge ihrer
> Definitionsmenge [mm]A[/mm][...]
>
>
> Hallo zusammen,
>
> mir ist nicht klar, ob Definitionsmenge/Definitionsbereich
> dasselbe wie Grundmenge oder wie das Urbild ist.
>
> In Wikipedia sind die Begriffe unterschiedlich definiert,
> soweit ich es verstanden habe:
>
> Aus 1. Definitionsmenge verstehe ich, dass die/der
> Definitionsmenge/Definitionsbereich eine Teilmenge der
> Grundmenge ist.
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Den einführenden Satz im Wikipedia-Text zu diesem Begriff
"Definitionsmenge" halte ich nicht für sehr glücklich verfasst.
Gleich im folgenden Satz wird aber der Begriff der Definitions-
menge einer Funktion klar definiert:
Eine Funktion f: A [mm] \to [/mm] B ist eine spezielle Relation, die
jedem Element der Definitionsmenge A genau ein Element
der Zielmenge B zuweist.
Die Definitionsmenge ist dabei eine gewisse Teilmenge einer
im Voraus festgelegten "Grundmenge", kann aber durchaus
auch mit ihr identisch sein. In diesem Fall ist die Definitions-
menge dann halt eine "unechte" Teilmenge der Grundmenge.
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> Aus 2. Urbild entnehme ich aber, dass das Urbild eine
> Teilmenge der/des Definitionsmenge/Definitionsbereichs ist
> und somit wäre die/der Definitionsmenge/Definitionsbereich
> gleich zu setzen mit der Grundmenge.
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Die Erklärung zum Begriff "Urbild einer Menge" in Bezug auf
eine Funktion f ist absolut in Ordnung. Beachte dabei, dass
die betrachtete Menge M (für deren Urbild man sich interessiert)
eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs
der Zielmenge von f sein kann.
(meine Korrektur nach den Beiträgen von Helbig und fred97)
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> Zwei zusätzliche Fragen:
>
> a) Die Zielmenge nennt man ja auch "Wertevorrat". Gibt es
> auch einen ähnlichen oder andere Sysnonym(e) für die
> Grundmenge?
Der Begriff "Wertevorrat" wird wohl nicht ganz einheitlich
verwendet. Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Zielmenge
> b) Ist Bildbereich ein Sysnonym für die Zielmenge oder
> für die Bildmenge? Oder wird es von Autor zu Autor
> unterschiedlich verwendet?
Da bin ich ein bisschen überfragt.
(Bemerkung: Es hei8t nicht "Sysnonym", sondern "Synonym".)
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 So 31.12.2017 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
>
> Die Erklärung zum Begriff "Urbild einer Menge" in Bezug
> auf
> eine Funktion f ist absolut in Ordnung. Beachte dabei,
> dass
> die betrachtete Menge M (für deren Urbild man sich
> interessiert)
> eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs von f sein
> kann.
Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des Wertevorrats ist, ist definiert.
Guten Rutsch,
Wolfgang
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> > Beachte dabei, dass die betrachtete Menge M
> > (für deren Urbild man sich interessiert)
> > eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs
> > von f sein kann.
.................................................................
> Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des
> Wertevorrats ist, ist definiert.
.................................................................
OK, aber es muss dabei doch mindestens feststehen, ob ein
Element y der Menge M, nach deren Urbild bei f man fragt,
zur Wertemenge von f gehört oder nicht.
Ich kann mir vorstellen, dass es Situationen geben kann,
in welchen diese Entscheidung nicht offensichtlich ist.
> Guten Rutsch,
> Wolfgang
Ebenfalls !
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mo 01.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Beachte dabei, dass die betrachtete Menge M
> > > (für deren Urbild man sich interessiert)
> > > eine ganz beliebige Teilmenge des Wertebereichs
> > > von f sein kann.
> .................................................................
>
> > Auch das Urbild einer Menge, die nicht Teilmenge des
> > Wertevorrats ist, ist definiert.
>
> .................................................................
>
Hallo Al,
> OK, aber es muss dabei doch mindestens feststehen, ob ein
> Element y der Menge M, nach deren Urbild bei f man fragt,
> zur Wertemenge von f gehört oder nicht.
> Ich kann mir vorstellen, dass es Situationen geben kann,
> in welchen diese Entscheidung nicht offensichtlich ist.
So ganz verstehe ich Deinen Einwand nicht. Sei $f:A [mm] \to [/mm] B$ eine Abbildung.
Ich gehe davon aus, dass Du mit Wertemenge die Menge $f(A)$ meinst.
Ist nun M eine Teilmenge von B, so ist das Urbild von M gegeben durch
[mm] $f^{-1}(M)=\{a \in A: f(a) \in M\}$.
[/mm]
Die Situation $y [mm] \in [/mm] M$, aber $y [mm] \notin [/mm] f(A)$ ist fast "alltäglich ".
Eine lieben Gruß und ein gutes neues Jahr wünscht
FRED
>
>
> > Guten Rutsch,
> > Wolfgang
>
> Ebenfalls !
>
> Al-Chw.
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> Ist nun M eine Teilmenge von B, so ist das Urbild von M
> gegeben durch
>
> [mm]f^{-1}(M)=\{a \in A: f(a) \in M\}[/mm].
Klar.
Es wird aber eben vorausgesetzt, dass M eine Teilmenge
von B ist. M darf also nicht irgendeine "beliebige" Menge
sein, die man mit B vielleicht gar nicht in praktikabler
Weise vergleichen kann.
Vielleicht liegt da das verbliebene Missverständnis:
Was versteht nun jeder unter dem "Wertevorrat" der
Funktion f: A [mm] \to [/mm] B ? Ist es die Menge B oder die
Menge f(A), welche oft als "Wertemenge" oder
"Wertebereich" von f bezeichnet wird ?
LG , Al-Chw.
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