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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Induktion:
es geht um folgende Ungleichung:
k! [mm] \ge 2^{k-1}
[/mm]
Induktionsanfang: k=1
1 [mm] \ge 2^0
[/mm]
1 [mm] \ge [/mm] 1
Stimmt!
Induktionsschritt:
(k+1)! [mm] \ge 2^{(k+1)-1}
[/mm]
k! (k+1) [mm] \ge 2^k
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht mehr weiter..
eine Idee wäre die linke Seite der Ungleichung so umzuformen:
k!*(k+1) [mm] \ge 2^{k-1} [/mm] * (k+1) (nach IV)
aber dann komm ich ja auch nicht weiter...Hilfe :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
> eine Idee wäre die linke Seite der Ungleichung so umzuformen:
> k!*(k+1) [mm]\ge 2^{k-1}[/mm] * (k+1) (nach IV)
Genau der richtige Ansatz. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und da [mm] $k\in\IN [/mm] \ = \ [mm] \{1;2;3;...\}$ [/mm] , wie kann man dann $k+1_$ abschätzen?
Das heißt: welchen Wert nimmt $k+1_$ mindestens an?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
wegen k [mm] \in \IN [/mm] nimmt k+1 mindestens 2 an...
also ja 2^(k-1) *2
aber wie kann ich dies weiter umformen, sodass ich am Ende [mm] 2^k [/mm] erhalte
erstmals vielen Dank für deine Hilfe
LG
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Hallo,
> wegen k [mm]\in \IN[/mm] nimmt k+1 mindestens 2 an...
> also ja 2^(k-1) *2
> aber wie kann ich dies weiter umformen, sodass ich am Ende
> [mm]2^k[/mm] erhalte
Das ist doch ein Potenzgesetz aus der Mittelstufe:
[mm] $a^m\cdot{}a^n=a^{m+n}$
[/mm]
Nochmal der Induktionsschritt im Detail:
IV war: [mm]\red{k!\ge 2^{k-1}}[/mm] für ein [mm] $k\in \IN$
[/mm]
zu zeigen ist nun, dass unter dieser IV auch gilt: [mm](k+1)!\ge 2^k[/mm]
Es ist [mm](k+1)!=\red{k!}\cdot{}(k+1)\red{\ge 2^{k-1}}\cdot{}(k+1)[/mm] nach IV
Nun ist - wie du richtig sagst - [mm]k+1\ge 2[/mm]
Also [mm]2^{k-1}\cdot{}(k+1)\ge 2^{k-1}\cdot{}2=2^k[/mm]
Fertig ist die Laube!
>
> erstmals vielen Dank für deine Hilfe
> LG
Gruß
schachuzipus
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