Intervallzerlegung, Riem. S. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie Unter- und Obersumme für das Integral [mm] $\int\limits_{0}^2 (x^2+x)dx$ [/mm] indem Sie die Zerlegung Z: 0 < 1/2 < 1 < 3/2 < 2 des Intervalls [0,2] verwenden.
Bestimmen Sie auch die Riemannsche Summe $ [mm] \\varphi(f, [/mm] Z, [mm] \xi) [/mm] $, wobei die Besetzung $ [mm] \xi [/mm] aus den Mittelpunkten der Zerlegungsintervalle besteht. |
Da die Integralrechnung derzeit als "Crash-Kurs" nachgeholt wird, muss ich die Aufgaben hierzu leider auch in Windeseile bearbeiten. Leider verfüge ich im Bereich Integralrechnung über nur sehr geringes Wissen..
Ich versuche daher im Folgenden etwas anschaulicher zu formulieren, natürlich mit der Bitte um Korrektur/Ergänzung usw.
1.) Zunächst soll ja eine Zerlegung stattfinden.
Wenn ich richtig sehe, dann sollen, um es für mich etwas verständlicher auszudrücken, 4 Rechtecke gleicher breite zwischen x-Achse und Funktion gelegt werden.
Für die Obersumme: Hier interessiert offenbar die "größte Höhe H" eines solchen Rechtecks, d.h. ich erhalte für die Obersumme folgende Summe:
[mm] $H_1* I_1 [/mm] + [mm] H_2 [/mm] * [mm] I_2 [/mm] + [mm] H_3 [/mm] * [mm] I_3 [/mm] + [mm] H_4 [/mm] * [mm] I_4$, [/mm]
wobei
[mm] $I_k$ [/mm] die Länge des Intervalls ist (im Beispiel konstante 0,5)
[mm] $H_1 [/mm] = f(0,5) = 0,75$
[mm] $H_2 [/mm] = f(1) = 2$
[mm] $H_3 [/mm] = f(1,5) = 3,75$
[mm] $H_4 [/mm] = f(2) = 6$
D.h.:
$Obersumme = 0,5* [mm] (H_1+H_2+H_3+H_4) [/mm] = 0,5 *12,5 = 6,25$
Für die Untersumme erhalte ich analog:
$Untersumme = 0,5* [mm] (h_1+h_2+h_3+h_4) [/mm] = ... = Obersumme - [mm] 0,5*H_4 [/mm] = 3,25$
Ist dies so korrekt?
2.) Die Riemannsche Summe soll bestimmt werden.
Wie geht das denn nun? :)
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Hallo,
> Bestimmen Sie Unter- und Obersumme für das Integral
> [mm]\int\limits_{0}^2 (x^2+x)dx[/mm] indem Sie die Zerlegung Z: 0 <
> 1/2 < 1 < 3/2 < 2 des Intervalls [0,2] verwenden.
> Bestimmen Sie auch die Riemannsche Summe [mm] [mm]\\varphi(f,[/mm] Z,
> [mm]\xi)[/mm] [/mm], wobei die Besetzung $ [mm]\xi[/mm] aus den Mittelpunkten der
> Zerlegungsintervalle besteht.
>
> Da die Integralrechnung derzeit als "Crash-Kurs" nachgeholt
> wird, muss ich die Aufgaben hierzu leider auch in
> Windeseile bearbeiten. Leider verfüge ich im Bereich
> Integralrechnung über nur sehr geringes Wissen..
> Ich versuche daher im Folgenden etwas anschaulicher zu
> formulieren, natürlich mit der Bitte um
> Korrektur/Ergänzung usw.
>
> 1.) Zunächst soll ja eine Zerlegung stattfinden.
> Wenn ich richtig sehe, dann sollen, um es für mich etwas
> verständlicher auszudrücken, 4 Rechtecke gleicher breite
> zwischen x-Achse und Funktion gelegt werden.
>
> Für die Obersumme: Hier interessiert offenbar die
> "größte Höhe H" eines solchen Rechtecks, d.h. ich
> erhalte für die Obersumme folgende Summe:
>
> [mm]H_1* I_1 + H_2 * I_2 + H_3 * I_3 + H_4 * I_4[/mm],
> wobei
> [mm]I_k[/mm] die Länge des Intervalls ist (im Beispiel konstante
> 0,5)
>
> [mm]H_1 = f(0,5) = 0,75[/mm]
> [mm]H_2 = f(1) = 2[/mm]
> [mm]H_3 = f(1,5) = 3,75[/mm]
>
> [mm]H_4 = f(2) = 6[/mm]
Das ist alles richtig, sieht aber dezimal geschrieben unschön aus. Verwende in der Analysis für rationale Zahlen die Darstellung als Bruch!
>
> D.h.:
> [mm]Obersumme = 0,5* (H_1+H_2+H_3+H_4) = 0,5 *12,5 = 6,25[/mm]
>
Dito. Also richtig, aber als Bruch darstellen.
> Für die Untersumme erhalte ich analog:
> [mm]Untersumme = 0,5* (h_1+h_2+h_3+h_4) = ... = Obersumme - 0,5*H_4 = 3,25[/mm]
>
> Ist dies so korrekt?
Ist korrekt, sollte aber begründet werden!
>
> 2.) Die Riemannsche Summe soll bestimmt werden.
>
> Wie geht das denn nun? :)
Das steht doch in der Aufgabenstellung. Die Höhe der Streifen soll jetzt durch die Funktionswerte in der Mitte der Teilintervalle beschrieben werden.
Gruß, Diophant
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Hallo,
das freut mich!
zu 2.)
Ich erhalte also für die Riemannsche Summe:
$ [mm] \frac{1}{2} [/mm] * (f(1/4) + f(3/4) + f(5/4) + f(7/4)) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * 9 [mm] \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{37}{8} [/mm] $ ?
$
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Hallo,
> Hallo,
>
> das freut mich!
>
> zu 2.)
>
> Ich erhalte also für die Riemannsche Summe:
>
> [mm]\frac{1}{2} * (f(1/4) + f(3/4) + f(5/4) + f(7/4)) = \frac{1}{2} * 9 \frac{1}{4} = \frac{37}{8} [/mm]
> ?
Ja, richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und: gibst du mir Recht, dass das jetzt schöner aussieht? 
Gruß, Diophant
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Selbstverständlich, vor allem, da wohl oft auch unschöne Zahlen als Ergebnis auftauchen können (und werden).
Vielen Dank für die Korrektur und Hilfestellung! :)
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