Konvergenz einer Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Mi 25.05.2005 | | Autor: | RePete |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Konvergenz einer Potenzreihe!
Gefragt war für welche Werte [mm]z[/mm] die Reihe konvergiert und welchen Wert die Reihe im Fall der Konvergenz hat.
[mm]1 + \sum_{i=1}^{n} 2 \cdot \left( \frac{z-1}{z+1} \right) ^{n}[/mm]
wobei [mm]z \in \IC[/mm]
Für die Konvergenz hab ich raus das folgende Bedingung erfüllt sein muß:
[mm]|z-1|<|z+1|[/mm]
Für die Summe hab ich hiermit angesetzt (weis nicht ob das stimmt...):
[mm]s_{n} = 1 + 2 \cdot \left( \frac{1-w^{n+1}}{1-w} \right)[/mm]
wobei gelten soll: [mm]w = \frac{z-1}{z+1}[/mm]
da der Limes von [mm]w^{n+1}[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm] eine Nullfoge sein soll komm ich dann letztendlich auf dieses Ergebnis:
[mm]s_{n} = z + 2[/mm]
Laut Lösungsheft soll aber nur [mm]z[/mm] herauskommen!
Was habe ich falsch gemacht? Würde mich freuen wenn mir das jemand etwas ausführlicher erklären könnte denn ich hab auf dem Gebiet nicht so den Durchblick.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo RePete!
> Gefragt war für welche Werte [mm]z[/mm] die Reihe konvergiert und
> welchen Wert die Reihe im Fall der Konvergenz hat.
>
> [mm]1 + \sum_{i=1}^{n} 2 \cdot \left( \frac{z-1}{z+1} \right) ^{n}[/mm]
>
> wobei [mm]z \in \IC[/mm]
>
> Für die Konvergenz hab ich raus das folgende Bedingung
> erfüllt sein muß:
>
> [mm]|z-1|<|z+1|[/mm]
>
> Für die Summe hab ich hiermit angesetzt (weis nicht ob das
> stimmt...):
Hier ist der Fehler...
> [mm]s_{n} = 1 + 2 \cdot \left( \frac{1-w^{n+1}}{1-w} \right)[/mm]
Es muss
[mm]s_{n} = 1 + 2 \cdot \left( \frac{1-w^{n+1}}{1-w} \red{-1}\right)[/mm]
lauten, weil die geometrische Reihe bei $n=0$ beginnt. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 25.05.2005 | | Autor: | RePete |
Hallo Julius,
danke erstmal für die Antwort!
Du hast recht ich kann mich grob daran erinnern das die Formel die ich genommen hab nur gilt wenn die Summe bei [mm]n = 0[/mm] beginnt. Ist dann folgender allgemeiner Ausdruck korrekt:
[mm]s_{n} = \sum_{n=k}^{\infty} z^{n} = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z} - k[/mm] ???
mfG Peter!
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Hallo RePete!
Grundsätzlich gilt: [mm] $\summe_{j=k}^n z^j=\summe_{j=0}^n z^j-\summe_{j=0}^{k-1} z^j=\bruch{1-z^{n+1}}{1-z}-\bruch{1-z^k}{1-z}=\bruch{z^k-z^n}{1-z}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 25.05.2005 | | Autor: | RePete |
Danke euch beiden für die schnellen Anworten! Ich glaub jetzt hab ich es verstanden!
mfG Peter
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