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Lösungsmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Fr 11.11.2005
Autor: Chocbooty83

Wie bestimme ich die Lösungsmenge folgender Gleichungen

1.)    1/x-2>2
2. )   |x| < (kleiner und gleich) x-2
3.)    2(2x-3)<7x-9
4.)   (ln(x))²-7 ln(x) = -12

Also ich bin dann auf folgendes gekommen:

1) 1 > 2x - 4, 5 > 2x

2) unterscheidung der  Fälle (a): x < 0 und (b): x > 0
(a): -x < x - 2
(b): +x < x - 2
3) ausmultiplizieren, alles x auf eine Seite bringen
-----------
4) (lnx)(lnx - 7) = -12 = -3*4 = -4*3
also
x = e4 oder x = e3

doch bei der 4) bin ich irgendwie hängen geblieben und bräuchte eure hilfe, hab nämlich keine grossartige ahnung von ln fkt.

und ist das andere so richtig?


        
Bezug
Lösungsmenge: Antwort (bearbeitet!)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Fr 11.11.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Chocbooty83,


> Wie bestimme ich die Lösungsmenge folgender Gleichungen
>
> 1.) [mm] $\frac{1}{x-2}>2$ [/mm]
> zu 1.) $1 > 2x - 4 [mm] \Rightarrow [/mm] 5 > 2x [mm] \Rightarrow [/mm] x < [mm] \frac{5}{2}$ [/mm]


Hier ist noch zu beachten, daß der linke Term der Ungleichung für $x = 2$ nicht definiert wäre. Für $x < 2$ wird der Term außerdem negativ. Damit müßte unsere Lösungsmenge so aussehen:


Also: [mm] $\mathbb{L} [/mm] := [mm] \left\{x|2

> 2.) [mm] $\left|x\right| \le [/mm] x-2$


Sei $p [mm] \in \mathbb{R}^+_0$. [/mm] Dann gilt: $p [mm] \le [/mm] p - 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] -2$. Widerspruch!


Und [mm] $\left|-p\right| [/mm] = p [mm] \le [/mm] -p - 2$. Das heißt eine positive Zahl müßte kleiner sein, als eine Negative. Widerspruch!

Also ist [mm] $\mathbb{L} [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm]


> 3.)    2(2x-3)<7x-9
> 3) ausmultiplizieren, alles x auf eine Seite bringen


[ok]


> 4.)   (ln(x))²-7 ln(x) = -12
>
> Also ich bin dann auf folgendes gekommen:
>  
>
> -----------
> 4) (lnx)(lnx - 7) = -12 = -3*4 = -4*3
> also
> $x = [mm] e^4$ [/mm] oder $x = [mm] e^3$ [/mm]


Prima! [daumenhoch]


> doch bei der 4) bin ich irgendwie hängen geblieben und
> bräuchte eure hilfe, hab nämlich keine grossartige ahnung
> von ln fkt.


Sei $k := [mm] \ln [/mm] x$. Dann erhalten wir eine quadratische Gleichung:


[mm] $k^2 [/mm] - 7k + 12 = 0$


Löse diese Gleichung nach k auf. In diesem Falle erhälst Du 2 Lösungen. Dann setzt Du das oben ein, und wendest die Exponentialfunktion an. Aber Du kennst die Lösungen ja bereits. :-)


Also: [mm] $\mathbb{L} [/mm] := [mm] \left\{x|x=e^3 \vee x = e^4\right\}$. [/mm]


Grüße
Karl
[user]



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