Matrixexponential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 13.11.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | x'=-y-t
y'=x+t
x(0)=1, y(0)=0 |
Liege ich richtig in der Annahme, zuerst
exp(tA) mit [mm] A=\pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] zu bilden?
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Hallo kalifat,
> x'=-y-t
>
> y'=x+t
>
> x(0)=1, y(0)=0
> Liege ich richtig in der Annahme, zuerst
>
> exp(tA) mit [mm]A=\pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] zu bilden?
Die Idee ist richtig, aber die Matrix A nicht richtig.
Es ist doch:
[mm]\pmat{x' \\ y' }=\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0}\pmat{x \\ y}+t*\pmat{-1 \\ 1}[/mm]
Damit ist [mm]A=\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 13.11.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für die Erläuterung, stimmt es das
[mm] e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t} \\ e^{t} & 1 } [/mm] ?
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Hallo kalifat,
> Danke für die Erläuterung, stimmt es das
>
> [mm]e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t} \\ e^{t} & 1 }[/mm] ?
Nein, das stimmt nicht.
Verwende zur Bestiimmung des Matrixexponentials
die bekannte Taylorreihe der Exponentialfunktion.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 13.11.2012 | | Autor: | kalifat |
[mm] e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t}-1 \\ e^{t}-1 & 1 }, [/mm] so müsste es stimmen
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Hallo kalifat,
> [mm]e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t}-1 \\ e^{t}-1 & 1 },[/mm] so müsste es
> stimmen
Nein, das stimmt auch nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 13.11.2012 | | Autor: | kalifat |
Hmm, ich habe die Taylorreihe verwendet und erhalte
[mm] \pmat{ 1 & -t+\bruch{t^2}{2} -\bruch{t^3}{6}+-...\\ t+\bruch{t^2}{2} +\bruch{t^3}{6}+ & 1 }, [/mm] was mache ich falsch?
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Hallo kalifat,
> Hmm, ich habe die Taylorreihe verwendet und erhalte
>
> [mm]\pmat{ 1 & -t+\bruch{t^2}{2} -\bruch{t^3}{6}+-...\\ t+\bruch{t^2}{2} +\bruch{t^3}{6}+ & 1 },[/mm]
> was mache ich falsch?
Höchstwahrscheinlich hast Du die Matrixpotenzen nicht richtig gebildet.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Di 13.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst [mm] e^{A*t} [/mm] auch dadurch berechnen, in dem Du die Eigenvektoren von A berechnest und dann A in der Form [mm] T*D*T^{-1} [/mm] darstellst, mit D ist eine Diagonalmatrix.
[mm] e^{A*t} [/mm] kann dann berechnet werden als
[mm] e^{A*t}=T*e^{D*t}*T^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:17 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Berechne mal [mm] A^2, [/mm] dann [mm] A^3, [/mm] dann [mm] A^4.
[/mm]
Fällt Dir etwas auf ?
FRED
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