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Hallo zusamman
Frage b) Bestimmen sie die Koeffizienten a, b, c in der Funktionsgleichung
$ y=a*cos(bx+c) , x [mm] \in \IR [/mm] $
so, dass die Amplitude 3 beträgt, die Abstände zwischen den Nullstellen halb so gross und der Graph um 1 nach rechts verschoben ist verglichen $ y=cosx $. Zeichnen Sie den Graphen.
Meine Lösung: $ y= 3*cos(bx+1)=0, x [mm] \in \IR [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] cos(bx+1)= 0 $, d.h. $ [mm] bx_0+1= [/mm] 2k [mm] \pi \vee bx_2+1=(2k+1)\pi, [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] $ Daraus folgt: $ [mm] b(x_2-x_1)= \pi [/mm] $ und $ [mm] b*\bruch{1}{2}= \pi \Rightarrow [/mm] b = [mm] 2*\pi [/mm] $
$ y = 3 [mm] \cdot{} cos(2\cdot{}\pi \cdot{}x+1) [/mm] $ Aber das heisst, dass diese Funktion 1-periodisch ist. Ich denke, dass alles alles nicht in Ordnung ist.
Ist das stimm oder fehlt noch etwas?
Für alle Hilfe danke ich im Voraus
Sauerstoff
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Hallo Sauerstoff!
Deine Lösung stimmt nicht ganz:
a=3: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denn cos(x) ist durch 1 nach oben beschränkt.
Wenn man also eine Amplitude von 3 möchte, bleibt nur: 3*cos(x).
Nun soll der Graph noch nach rechts verschoben werden.
Achtung: eine Verschiebung von cos um eine Einheit in Richtung der x-Achse bedeutet: -1. Also: cos(x-1)
cos(x+1) wäre eine Verschiebung um eine Einheit nach links!
Mal Dir das ruhig mal auf, dann merkst du das schnell.
So, nun soll noch der Abstand der Nullstellen halbiert werden:
Der Abstand der Nullstellen von cos(x) beträgt Pi, denn cos(Pi/2) = 0 und der cos ist symmetrisch.
D.h., wir brauchen nun einen Abstand von Pi/2.
Das wiederum bedeutet, da cos symmetrisch, dass Pi/4 eine Nullstelle sein muss.
Das b muss also folgende Gleichung erfüllen:
cos(b*Pi/4) = 0 und zur Erinnerung: cos(Pi/2)=0.
Also wählen wir b=2 und erhalten:
3*cos(2*x - 1)
Das war´s!
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