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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 09.12.2019 | | Autor: | NathanR |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Summe der Gewichte von interpolatorischen Quadraturformeln immer
die Intervall-Länge |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich mir das nicht zu einfach gemacht habe.
Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
Zu zeigen ist ja [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) [/mm] dx = b - a $
Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm] (x) = 1$ ist.
Damit erhalten wir:
[mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b} L_{0}^{n} [/mm] (x) dx + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \int_{a}^{b} L_{n}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} L_{0}^{n} [/mm] (x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] L_{n}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] 1 dx = [mm] [x]_{a}^{b}= [/mm] b - a $
Passt das so? Oder setze ich unbewusst irgend etwas voraus, was nicht notwendigerweise gegeben sein muss?
Grüße,
Nathan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Di 10.12.2019 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Summe der Gewichte von
> interpolatorischen Quadraturformeln immer
> die Intervall-Länge
> Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich mir das nicht zu
> einfach gemacht habe.
>
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> Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
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> Zu zeigen ist ja [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) dx = b - a[/mm]
>
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>
> Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm]
> ist.
Was bedeutet denn (x) ? Ich vermute, Du meinst mit [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm] das:
[mm]\sum\limits_{i = 0}^{n}L_i^n (x) = 1[/mm] .
Wenn ja, so stimmts.
>
>
> Damit erhalten wir:
>
>
> [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) dx = \int_{a}^{b} L_{0}^{n} (x) dx + \ldots + \int_{a}^{b} L_{n}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} L_{0}^{n} (x) + \ldots + L_{n}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \sum\limits_{i = 0}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} 1 dx = [x]_{a}^{b}= b - a[/mm]
>
>
> Passt das so?
Ja, es passt, wenn Du mit [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm] das
[mm]\sum\limits_{i = 0}^{n}L_i^n (x) = 1[/mm]
meinst.
> Oder setze ich unbewusst irgend etwas voraus,
> was nicht notwendigerweise gegeben sein muss?
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> Grüße,
>
> Nathan
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