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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei H ein Hilbertraum und U [mm] \subset [/mm] H ein Unterraum von H. Außerdem sei L ein Projektor von H auf U, sowie P der orthogonale Projektor von H auf U, d.h.
Px = [mm] argmin_{u \in U} \|x-u\|.
[/mm]
Zeige:
[mm] \|x-Lx \| \leq [/mm] (1+ [mm] \|L\|) \|x-Px\|.
[/mm]
Hinweis: Denke an Interpolation vs. Projektion. |
Hallo,
wie hängen der orthogonale Projektor P und die Projektion L zusammen?
Für L muss ja gelten, dass L = [mm] L^2. [/mm] Außerdem verstehe ich auch nicht warum Interpolation ein Bsp für eine Projektion sein soll?
Wäre super, wenn ihr mir ein paar Erklärungen zu dieser Aufgabe hättet.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $P(H) = L(H) = U$, also ist $L(Px) = Px$ für jedes x [mm] \in [/mm] H
Sei x [mm] \in [/mm] H. Dann: $x = Px+(I-P)x$, somit:
$||x-Lx|| = ||Px+(I-P)x -L(Px+(I-P)x)|| = ||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)|| = ||(I-L)(x-Px)||$
[mm] $\le [/mm] ||I-L|| ||x-Px|| [mm] \le [/mm] (1+||L||)||x-Px||$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort! Ich habe noch zwei Fragen dazu:
Px ist doch ein Element in U, oder? Kann man dann auch sagen, dass L(Px) = Px, da die Projektion Elemente von U wieder auf sich selbst abbildet?
Diesen Schritt verstehe ich nicht:
||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)|| = ||(I-L)(x-Px)||
Wie hast du hier verwendet dass L(Px) = Px ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort! Ich habe noch zwei Fragen dazu:
>
> Px ist doch ein Element in U, oder? Kann man dann auch
> sagen, dass L(Px) = Px, da die Projektion Elemente von U
> wieder auf sich selbst abbildet?
Ja
>
> Diesen Schritt verstehe ich nicht:
> ||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)|| = ||(I-L)(x-Px)||
> Wie hast du hier verwendet dass L(Px) = Px ?
Das hab ich weiter oben verwendet.
Mit z = (I-P)x ist:
$||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)|| = ||Px-Px+(I-P)x -L((I-P)x)|| = ||(I-P)x-L((I-P)x)|| = ||z-Lz|| = ||(I-L)z||$
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Fred,
ok, danke für die Erklärung. Eine Rückfrage noch.
Wie bist du hierhin gekommen: ||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)|| ?
Ist L linear und mann kann das auseinanderziehen?
L(Px + (I-P)x) = L(Px) + L((I-P)x) ?
Geht das immer bei Projektionen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> ok, danke für die Erklärung. Eine Rückfrage noch.
>
> Wie bist du hierhin gekommen: ||Px+(I-P)x -Px-L((I-P)x)||
> ?
>
> Ist L linear und mann kann das auseinanderziehen?
Ja
>
> L(Px + (I-P)x) = L(Px) + L((I-P)x) ?
>
> Geht das immer bei Projektionen?
Ja, wegen der Linearität
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Riley |
Ok, dankeschön.
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