Q_8 , Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 So 09.12.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Finden SIe alle Elemnte der Gruppe [mm] Q_8, [/mm] die Ordnung 2 besitzen.
Beweisen Sie, dass jede Untergruppe der Gruppe [mm] Q_8 [/mm] Normalteiler von [mm] Q_8 [/mm] ist. |
[mm] Q_8 [/mm] = <A= [mm] \pmat{ 0& 1 \\ -1 & 0 }, [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }= \{ I , -I, A , -A , B , -B , AB, -AB \}
[/mm]
[mm] (-I)^2 [/mm] = I
[mm] A^2 [/mm] = [mm] B^2 [/mm] = -I
[mm] (AB)^2= [/mm] (- [mm] AB)^2 [/mm] = - I
=> -I besitz als einziges Elemt Ordnung 2.
Wir hatten einen Satz, der vlt helfen könnte:
Es sei G eine Gruppe und H [mm] \le [/mm] G mit der Eigenschaft [G:H]=2. Dann gilt H Normalteiler von G.
Trotzdem komme ich bei 2) nicht wirklich weiter.
Liebe Grüße
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Hi,
> Finden SIe alle Elemnte der Gruppe [mm]Q_8,[/mm] die Ordnung 2
> besitzen.
> Beweisen Sie, dass jede Untergruppe der Gruppe [mm]Q_8[/mm]
> Normalteiler von [mm]Q_8[/mm] ist.
> [mm]Q_8[/mm] = <a= <span="" class="math">[mm]\pmat{ 0& 1 \\
-1 & 0 },[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & i \\
i & 0 }= \{ I , -I, A , -A , B , -B , AB, -AB \}[/mm]
>
> [mm](-I)^2[/mm] = I
> [mm]A^2[/mm] = [mm]B^2[/mm] = -I
> [mm](AB)^2=[/mm] (- [mm]AB)^2[/mm] = - I
>
> => -I besitz als einziges Elemt Ordnung 2.
>
> Wir hatten einen Satz, der vlt helfen könnte:
> Es sei G eine Gruppe und H [mm]\le[/mm] G mit der Eigenschaft
> [G:H]=2. Dann gilt H Normalteiler von G.
> Trotzdem komme ich bei 2) nicht wirklich weiter.
Das liefert dir nur ein paar Normalteiler.
Schau dir doch einfach erst einmal an, welche Untergruppen überhaupt so existieren.
Es sind nur 6 Stück. Die einfachen  nehme ich dir mal ab:
- triviale Gruppe ist Normalteiler
- ganze Gruppe Q8 ist Normalteiler
Schau dir mal die Erzeugnisse von [mm] $\langle [/mm] A [mm] \rangle,\langle [/mm] B [mm] \rangle,\langle [/mm] AB [mm] \rangle$
[/mm]
an.
z.B. [mm] $\langle [/mm] A [mm] \rangle$
[/mm]
Was ist [mm] $AAA^{-1}, BAB^{-1}, (AB)A(AB)^{-1}$?
[/mm]
Oder Alternativ kannst du dir auch [mm] $|G:\langle [/mm] A [mm] \rangle|$ [/mm] anschauen und die Sache mit dem Index benutzen.
Dann fehlt noch soetwas, wie [mm] $\langle [/mm] -I [mm] \rangle$. [/mm] Hier gilt [mm] $\langle [/mm] -I [mm] \rangle\in \operatorname{Z}(Q_8)$.
[/mm]
In jedem Fall, solltest du dir mal explizit aufschreiben, was es hier an Untergruppen so gibt.
gruß
wieschoo</a=>
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