matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Analysis des R1" - St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt
St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 02.12.2019
Autor: Steve96

Aufgabe
Seien $a, b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mi $ a < b$ und [mm] $\omega \in [/mm] C([a, b])$ mit [mm] $\omega(x) [/mm] > 0$ derart, dass [mm] $\int_{a}^{b} \omega(x) [/mm] dx < [mm] \infty$. [/mm]



Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $(\cdot, \cdot)_{\omega}: [/mm] C([a, b] [mm] \times [/mm] C([a, b] [mm] \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] definiert durch


$(f, [mm] g)_{\omega} [/mm] .= [mm] \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) dx$ wohldefiniert und ein Skalarprodukt auf dem Raum, der stetigen Funktionen ist.



b) (Formel von Rodrigues) Zeigen Sie: Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm] $\omega$ [/mm] auf dem Intervall $[a, b ]$ orthogonale Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] erfüllen


[mm] $p_{k}(x) [/mm] = [mm] c_{k} \frac{1}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ]\quad (c_{k} \in \mathbb{R}, [/mm] k [mm] \in \mathbb{R}_{0}), [/mm]

falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad $k$ ist.



Hinweis: Zeigen Sie, dass ein Polynom [mm] $p_{k}$ [/mm] orthogonal zu allen Polynomen vom Grad [mm] $\le [/mm] k - 1$ ist.

Verwenden Sie dazu partielle Integration.

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Ich habe die a) folgendermaßen begonnen:





1.) Zeigen, dass [mm] $(\cdot, \cdot)_{\omega}$ [/mm] ein Skalarprodukt bildet


1.1) Positive Definitheit

Sei $f [mm] \in [/mm] C([a, b])$


Es ist $(f, [mm] f)_{\omega} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) f(x) dx = [mm] \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] t(x) dx$


Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm] $f(x)^{2}$ [/mm] und $w(x) [mm] \cdot f(x)^{2}$ [/mm] wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man das begründen?

Wie zeige ich dann, dass [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] t(x) d x [mm] \ge [/mm] 0 $ ist?




1.2) Symmetrie


Seien  $f, g [mm] \in [/mm] C([a, b])$.

Dann ist $(f, [mm] g)_{\omega}= \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) = ....$

An dieser Stelle weiß ich nicht, ob das Produkt zweier Funktionen kommutativ ist. Wie zeigt man das? Mir ist nicht bekannt, dass die Menge der stetig diffbaren Funktionen bez. der Multiplikation eine Gruppe oder ähnliches bildet.



Die Linearität habe ich schon geschafft zu zeigen.


Nur bei der 1.1) und 1.2) habe ich Schwierigkeiten.




Und was genau meint man hier mit "Wohldefiniertheit"? Und wie könnte man diese zeigen?



Freue mich auf eine Antwort!

lg, Steve

  

        
Bezug
St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mo 02.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1.) Zeigen, dass [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}[/mm] ein Skalarprodukt bildet
>  
>
> 1.1) Positive Definitheit
>  
> Sei [mm]f \in C([a, b])[/mm]
>  
>
> Es ist [mm](f, f)_{\omega} = \int_{a}^{b} w(x) f(x) f(x) dx = \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} dx = \int_{a}^{b} t(x) dx[/mm]

[ok]

> Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm]f(x)^{2}[/mm] und [mm]w(x) \cdot f(x)^{2}[/mm] wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man das begründen?

Gemeinhin sollten dir die Begriffe "Kettenregel" und "Produktregel" in Bezug auf die Differenzierbarkeit etwas sagen.
Was sagen diese aus?

Begründe dann mit dem Wissen, dass die jeweiligen Ableitungen von w und f stetig sind, dass auch $w(x) [mm] \cdot f(x)^{2}$ [/mm] stetig differenzierbar ist, d.h. dass die Ableitung existiert und stetig ist.

> Wie zeige ich dann, dass [mm]\int_{a}^{b} t(x) d x \ge 0[/mm] ist?

Es ist $t(x) [mm] \ge [/mm] 0$ auf $[a,b]$, wie du bereits gezeigt hast.
Daraus folgt auch, dass  [mm]\int_{a}^{b} t(x) d x \ge 0[/mm]

Das hattet ihr bestimmt, ansonsten müsstest du es mit der Definition des Integrals beweisen… da ich aber nicht davon ausgehe, dass das hier verlangt ist, darfst du das wohl benutzen.
Alternativ hattet ihr womöglich, dass das Integral monoton ist, also dass gilt $f [mm] \ge [/mm] g [mm] \quad \Rightarrow \quad \int_a^b [/mm] f(x) dx [mm] \ge \int_a^b [/mm] g(x) dx$
Das beweist man aber eigentlich über obige Aussage… aber jenachdem, was ihr hattet, folgt das eine eben aus dem anderen.

> Seien  [mm]f, g \in C([a, b])[/mm].
>  
> Dann ist [mm](f, g)_{\omega}= \int_{a}^{b} w(x) f(x) g(x) = ....[/mm]
>  
> An dieser Stelle weiß ich nicht, ob das Produkt zweier Funktionen kommutativ ist. Wie zeigt man das?

Eigentlich eine sehr sehr gute Frage, wenn wir über die Funktion $h(x) = [mm] (f\cdot [/mm] g)(x)$ reden würden.
Aber das ist hier gar nicht notwendig, du brauchts dafür nämlich nur, dass du im Integranden $f(x)$ und $g(x)$ vertauschen kannst. Nun sind aber f(x) und g(x) für jedes x einfach reelle Zahlen, d.h. die Gleichung $f(x)g(x) = g(x)f(x)$ folgt aus der Kommutativität der rellen Zahlen.

> Und was genau meint man hier mit "Wohldefiniertheit"? Und wie könnte man diese zeigen?

"Wohldefiniert" meint, dass sämtliche Ausdrücke existieren und unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind.
Letzteres ist hier nicht relevant, aber du müsstest kurz begründen, warum der Ausdruck

[mm] $\int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) dx $

für beliebige stetige Funktionen f und g überhaupt existiert, also warum  $w(x) f(x) g(x)$ Riemann-integrierbar auf [a,b] ist.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mo 02.12.2019
Autor: fred97


> Seien [mm]a, b \in \mathbb{R}[/mm] mi [mm]a < b[/mm] und [mm]\omega \in C([a, b])[/mm]
> mit [mm]\omega(x) > 0[/mm] derart, dass [mm]\int_{a}^{b} \omega(x) dx < \infty[/mm].
>  
>
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}: C([a, b] \times C([a, b] \rightarrow \mathbb{R}[/mm],
> definiert durch
>
>
> [mm](f, g)_{\omega} .= \int_{a}^{b} w(x) f(x) g(x) dx[/mm]
> wohldefiniert und ein Skalarprodukt auf dem Raum, der
> stetigen Funktionen ist.
>  
>
>
> b) (Formel von Rodrigues) Zeigen Sie: Die bezüglich der
> Gewichtsfunktion [mm]\omega[/mm] auf dem Intervall [mm][a, b ][/mm]
> orthogonale Polynome [mm]p_{k}[/mm] erfüllen
>  
>
> [mm]$p_{k}(x)[/mm] = [mm]c_{k} \frac{1}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ]\quad (c_{k} \in \mathbb{R},[/mm]
> k [mm]\in \mathbb{R}_{0}),[/mm]
>
> falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad [mm]k[/mm] ist.
>  
>
>
> Hinweis: Zeigen Sie, dass ein Polynom [mm]p_{k}[/mm] orthogonal zu
> allen Polynomen vom Grad [mm]\le k - 1[/mm] ist.
>  
> Verwenden Sie dazu partielle Integration.
>  Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass
> mir jemand helfen kann.
>  
> Ich habe die a) folgendermaßen begonnen:
>  
>
>
>
>
> 1.) Zeigen, dass [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}[/mm] ein Skalarprodukt
> bildet
>  
>
> 1.1) Positive Definitheit
>  
> Sei [mm]f \in C([a, b])[/mm]
>  
>
> Es ist [mm](f, f)_{\omega} = \int_{a}^{b} w(x) f(x) f(x) dx = \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} dx = \int_{a}^{b} t(x) dx[/mm]
>  
>
> Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm]f(x)^{2}[/mm] und [mm]w(x) \cdot f(x)^{2}[/mm]
> wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man
> das begründen?



Gar nicht.  Ich frage mich, warum du von  "stetig  differenzierbar" redest.

Die  beteiligten Funktionen sind  stetig,  mehr  nicht.



>  
> lg, Steve
>  
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]