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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 12.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Stammfunktion:
$ \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} $ |
Hallo,
bei diesen Aufgaben komme ich irgendwie nicht weiter.
1. Lösungsansatz Substitution:
$ x = sinh(u)$
$ \Rightarrow \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral{\bruch{sinh^2(u)}{\wurzel{1+sinh^2(u)}} cosh(u)du} = \integral{\bruch{sinh^2(u)}{cosh(u)}} cosh(u)du} = \integral{sinh^2(u)du}$
Ich schaffe es allerdings nicht die Stammfunktion von $ sinh^2(x) $ zu bestimmen.
2. Lösungsansatz
$ \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral{x*\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} dx} $
Die Stammfunktion von $ \bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} $ habe ich vorher schon bestimmt. Sie ist $ \wurzel{1+x^2} $.
Jetzt verwende ich die Produktregel:
$ u = x $ , $ u' = 1 $ , $ v' = \bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} $ , $ v = \wurzel{1+ x^2} $
$ = x \wurzel{1+x^2}-\integral{\wurzel{1+x^2}dx} $
Jetzt habe ich wieder versucht mit substitution weiter zu kommen.
$ x = sinh(u) $
Damit komme ich auf folgendes:
$ = x \wurzel{1+x^2}-\integral{cosh^2(u) du} $
Das Integral von $ cosh^2(u) $ habe ich vorher schonmal bestimmt. Damit komme ich nach Rücksubstitution auf folgendes:
$ = x \wurzel{1+x^2} + \bruch{cosh(arcsinh(x))*x+x}{2} $
Ist aber keine schöne Lösung und wahrscheinlich falsch...
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo BarneyS,
> Bestimmen Sie die Stammfunktion:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx}[/mm]
> Hallo,
> bei diesen Aufgaben komme ich irgendwie nicht weiter.
>
> 1. Lösungsansatz Substitution:
>
> [mm]x = sinh(u)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral{\bruch{sinh^2(u)}{\wurzel{1+sinh^2(u)}} cosh(u)du} = \integral{\bruch{sinh^2(u)}{cosh(u)}} cosh(u)du} = \integral{sinh^2(u)du}[/mm]
>
> Ich schaffe es allerdings nicht die Stammfunktion von
> [mm]sinh^2(x)[/mm] zu bestimmen.
Verwende hier partielle Integration:
[mm]\integral{sinh^2(u) \ du}=\integral_{}^{}{ \ \sinh\left(u\right)*\sinh\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> 2. Lösungsansatz
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} = \integral{x*\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} dx}[/mm]
>
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] habe ich
> vorher schon bestimmt. Sie ist [mm]\wurzel{1+x^2} [/mm].
>
> Jetzt verwende ich die Produktregel:
>
> [mm]u = x[/mm] , [mm]u' = 1[/mm] , [mm]v' = \bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] , [mm]v = \wurzel{1+ x^2}[/mm]
>
> [mm]= x \wurzel{1+x^2}-\integral{\wurzel{1+x^2}dx}[/mm]
>
> Jetzt habe ich wieder versucht mit substitution weiter zu
> kommen.
>
> [mm]x = sinh(u)[/mm]
>
> Damit komme ich auf folgendes:
>
> [mm]= x \wurzel{1+x^2}-\integral{cosh^2(u) du}[/mm]
>
> Das Integral von [mm]cosh^2(u)[/mm] habe ich vorher schonmal
> bestimmt. Damit komme ich nach Rücksubstitution auf
> folgendes:
>
> [mm]= x \wurzel{1+x^2} + \bruch{cosh(arcsinh(x))*x+x}{2}[/mm]
Es gilt:
[mm]cosh(arcsinh(x))=\wurzel{1+x^{2}}[/mm]
>
> Ist aber keine schöne Lösung und wahrscheinlich
> falsch...
Ja, die Lösung stimmt nicht.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruss
MathePower
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