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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Wir machen gerade Tensorprodukte und ich komme damit überhaupt nicht klar. Wenn man z.B. die Abbildung hat f: v [mm] \otimes [/mm] w [mm] \mapsto v_{1}*w_{1}+2*v_{2}*w_{2}+...+n*v_{n}*w_{n} [/mm] hat. Wie zeigt man dann, dass die linear ist. Konkret: wie zeigt man z.B. dass f[(v [mm] \otimes [/mm] w)+(x [mm] \otimes [/mm] y)]= f(v [mm] \otimes [/mm] w)+f(x [mm] \otimes [/mm] y) ist?
Was ist eigentlich v [mm] \otimes [/mm] y? Kann man das als Matrix schreiben?
Gruß Marietta
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Hallo!
Bei deiner Funktion $f$ bekomme ich leider ein wenig Bauchschmerzen. Ich schreib's mal ein bisschen genauer auf (so wie ich's verstanden habe). Dadurch wird's leider etwas technisch...
Du hast die Vektorräume $V$ und $W$, durch [mm] $\{e_1,\dots, e_n\}$ [/mm] bzw. [mm] $\{f_1,\dots, f_n\}$ [/mm] sei eine Basis von $V$ bzw. $W$ gegeben. Dann ist [mm] $\{e_i\otimes f_j:\ 1\le i,j\le n\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V\otimes [/mm] W$.
Jetzt seien du [mm] $v=\sum_{i=1}^n v_i e_i$ [/mm] und [mm] $w=\sum_{j=1}^n w_jf_j$. [/mm] Also ist [mm] $v\otimes w=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n v_iw_j( e_i\otimes f_j)$. [/mm] Jetzt kannst du $f$ als die Funktion definieren, die so abbildet: [mm] $v\otimes w\mapsto \sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] v_iw_i$.
[/mm]
Um die Linearität zu zeigen, brauchst du jetzt noch zwei Vektoren: [mm] $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ [/mm] und [mm] $y=\sum_{j=1}^n y_jf_j$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $x\otimes y=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_iy_j( e_i\otimes f_j)$ [/mm] und damit
[mm] $(v\otimes w)+(x\otimes y)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (v_iw_j+x_iy_j)( e_i\otimes f_j)$!
[/mm]
Damit gilt
[mm] $f\big((v\otimes w)+(x\otimes y)\big)=\sum_{i=1}^n i(v_iw_i+x_iy_i)=\sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] v_iw_i+ \sum_{i=1}^n ix_iy_i=f(v\otimes w)+f(x\otimes [/mm] y)$.
Weil diese Tensorprodukte diese spezielle Struktur haben, schreibt man sie manchmal tatsächlich auch als eine Art Matrix:
[mm] $v\otimes w=\pmat{v_1w_1&v_1w_2&\cdots& v_1 w_n\\ v_2w_1&v_2w_2&\cdots &v_2w_n\\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ v_mw_1&v_mw_2&\cdots & v_mw_n}$.
[/mm]
Ich hoffe, dass es dir ein bisschen klarer geworden ist...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Vielen Dank! Konnte alles verstehen und hat mir sehr geholfen.
Gruß Marietta
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