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Umformung log. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:37 Sa 14.04.2018
Autor: doom0852

Aufgabe
Bestimme x: [mm] \bruch{k_{1}}{k_{2}} [/mm]  = [mm] \bruch{\wurzel{log(x)}}{\wurzel{log(x)-log(x_{0}))}} [/mm]

Guten Morgen!

Entweder ich denke zu kompliziert oder ich komme nur auf eine explizite x-Lösung, wenn ich die (nicht gegebene) Bedingung stelle: k1, k2 [mm] \in \IR \backslash \{0\}. [/mm]

Denn ich habe: [mm] \bruch{k_{1}^{2}}{k_{2}^{2}}(lgx-lgx_{0}+\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}lg(x))=0 [/mm]

Daraus folgt:  [mm] (lgx-lgx0+\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}lg(x))=0 [/mm]

und [mm] lg(x)(1+\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}})=lg(x_{0}) [/mm]

[mm] \gdw x10^{1+\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm]

x = [mm] \bruch{x_{0}}{10^{1+\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}}} [/mm]


        
Bezug
Umformung log. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Sa 14.04.2018
Autor: luis52

*Ich* rechne so: Setze [mm] $a=k_1/k_2$. [/mm] Die Gleichung ist aequivalent mit

[mm] \begin{matrix} a^2(\log(x)-\log(x_0))=\log(x) &\iff&\log(x)(a^2-1)=a^2\log(x_0) \\ &\iff&\log(x)=\frac{a^2\log(x_0)}{a^2-1} \\ &\iff&x=\exp\left(\dfrac{a^2\log(x_0)}{a^2-1}\right)\\ &\iff&x=(\exp(\log(x_0))^{a^2/(a^2-1)}\\ &\iff&x=x_0^{a^2/(a^2-1)} \end{matrix} [/mm]
          

Bezug
        
Bezug
Umformung log. Gleichung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:36 Sa 14.04.2018
Autor: doom0852

Habe bei mir einen Vorzeichenfehler entdeckt:

Es müsste: [mm] (lgx-lgx0-\bruch{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}lg(x))=0 [/mm]  heißen.

Erstmal ielen Dank für die Antwort!
Ich kann deiner Lösung soweit folgen, allerdings sehe ich nicht warum
[mm] a^2\log(x_0) [/mm] = [mm] log(x_0)^{a^2} [/mm]  ist, wobei es eigentlich [mm] log(x_0^{a^2}) [/mm] sein müsste und dies ja nicht das gleiche ist, wobei [mm] a^2 [/mm]  def Term [mm] a^2/(a^2-1)darstellen [/mm] soll.
Edit: Hat sich erledigt :) habe die eine Klammer nicht gesehen vom exp. sprich exp(lg(x)) wird seperat verrechnet und das entstehende [mm] x_0 [/mm] wird noch mit dem restlichen Term exponiert

Bezug
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