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| Aufgabe | Uneigentliches Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty} x^r\, [/mm] dx [mm] r\le \infty [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo nochmal.
Hätte da noch ein Problem:
Wir sollen auch das Integral lösen:
[mm] \integral_{1}^{\infty} x^r\, [/mm] dx [mm] r\le \infty
[/mm]
die Stammfunktion lautet ja: 1/rx^(r+1)
Hier hab ich jetzt das Problem, das ich zwei Variablen (a, r) habe und die Grenzen $ [mm] \integral_{1}^{\infty}. [/mm] $.
Wie komm ich hier zu einer Lösung.
Das Problem ist das die Klausur ne M.Choice ist und daher nur die richtige Antwort gilt.
Danke im Vorraus.
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Hallo erstmal,
Ich würde spontan sagen, dass das Ergebnis [mm] \infty [/mm] ist.
Man könnte da eine entsprechende Fallunterscheidung machen:
1. Fall r [mm] \le \infty [/mm] und r ist natürliche Zahl
Dieser Fall ist recht klar. Im kleinsten Fall (r =1) erhältst du ja eine Stammfunktion, die quadratisch ist. Diese ist sicher für positive Zahlen streng monoton (steigend). Für alle anderen, höheren Potenzen ist dies sicher auch der Fall. Der Bruch-Skalar vorneweg macht für x gegen undendlich sicherlich nicht viel aus, auch nicht bei hohen r.
Einziges Problem ist, wenn r tatsächlich "gleich" unendlich wäre. In diesem Fall wüsste ich jetzt auch keinen Rat; l'Hôpital`sche Regeln würden hier ggf. Sinn machen.
2. Fall: r [mm] \le \infty [/mm] und r ist negative, ganze Zahl
Läuft ansich analog zum 1. Fall, auch hier wäre das Problem wenn r zufällig "gleich" - [mm] \infty [/mm] wäre...
3. Fall: r [mm] \le \infty [/mm] und r ist Bruch
Dies ist sicherlich ein wenig problematischer (man beachte hierbei die Klippe, dass die Stammfunktion von 1/x gerade ln(x) ist...).
Ich wüsste nicht, wie man da so allgemein im Rahmen einer multiple-choice-Klausur was richtiges ankreuzen kann/soll. Einzig wirklich etwas stärker überzeugendes Argument wäre die strenge Monotnonie der Funktionen bei x-Werten größer als 1.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich nun n Eis holt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Darkangel,
> Uneigentliches Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty} x^r\,[/mm] dx [mm]r\le \infty[/mm]
Steht in der Aufgabenstellung wirklich [mm]r\le \infty[/mm]? Es sollte [mm]r < \infty[/mm] heißen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo nochmal.
> Hätte da noch ein Problem:
> Wir sollen auch das Integral lösen:
> [mm]\integral_{1}^{\infty} x^r\,[/mm] dx [mm]r\le \infty[/mm]
>
> die Stammfunktion lautet ja: 1/rx^(r+1)
Nicht ganz. Eine Stammfunktion ist für $ r [mm] \not= [/mm] -1 $
$ F(x) = [mm] \bruch{1}{r+1}\ x^{r+1} [/mm] $
> Hier hab ich jetzt das Problem, das ich zwei Variablen (a,
> r) habe und die Grenzen [mm]\integral_{1}^{\infty}. [/mm].
> Wie komm ich hier zu einer Lösung.
Es gilt für $ r [mm] \not= [/mm] -1 $
[mm] \integral_{1}^{\infty} x^r\ dx [/mm] = $ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}( \bruch{1}{r+1}\ a^{r+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{r+1})\ [/mm] $
Jetzt betrachte mal verschiedene Werte für r, z.B. r=2, r=-2, r=0,5, r=-0,5. Dann bekommst du eine Idee, wann der Grenzwert existiert.
Gruß
Sigrid
> Das Problem ist das die Klausur ne M.Choice ist und daher
> nur die richtige Antwort gilt.
>
> Danke im Vorraus.
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Hallo
Wenn ich für r (2 , -2 , 0.5, -05) einsetzte und für a einen beliebigen grossen Wert einsetze, bekomme ich immer Werte >0, also müsste die Funtion unendlich sein oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
so du dunkler Engel! :)
Also eigentlich ist das doch nur halbso eine Hexerei! :)
deine Stammfunktion ist also [mm] \bruch{x^{r+1}}{r+1}
[/mm]
Wie du natürlich gleich siehst, existiert das ganze für r = -1 natürlich nicht, weil durch null darf man ja nicht dividieren.
also weiter wir schaun uns das jetzt mal genauer an. da steht:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{a^{r+1}}{r+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{r+1}
[/mm]
nungut, für r > -1 konvergiert das ganze gegen [mm] \infty
[/mm]
für r < -1 wird aus dem ganen [mm] \bruch{1}{r+1} [/mm] weil das a unter den Bruch wandert, und [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0 ist
nun bleiben noch die Fälle, wo r = [mm] \infty [/mm] und r = [mm] -\infty [/mm] ist.. aba da bin ich leida auch überfragt... sry :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Darkangel2 |
Vielen Lieben Dank für eure Hilfe.
Ihr habt mir mein Leben gerettet.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Sodala.. habs dochnoch so hinbekommen...
also für r = [mm] -\infty [/mm] kann man das ganze auch so anschreiben:
[mm] \bruch{1}{1-\infty} \bruch{1}{e^\infty} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-\infty}
[/mm]
gut nun ist [mm] \bruch{1}{e^\infty} [/mm] = 0 und der Bruch danach auch 0 also kommt 0 raus.
für r = [mm] \infty [/mm] folgt nach Anwendung von de L'Hospital [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} a^\infty [/mm] also kommt [mm] \infty [/mm] raus!
hoff das stimmt so! ;) sollt aba passen
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