Wähle a,b,c für lin. unabh. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 16.03.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Gegeben seien
v1:= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] v2:= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}, [/mm] v3:= [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Für welche reellen Zahlen a, b, c ∈ R sind v1, v2, v3 linear unabhangig? |
Hallo,
leider habe ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Linear unabhängig wären sie ja, wenn [mm] \lambda_{1} [/mm] ... [mm] \lambda_{n}=0 [/mm] gilt.
Wenn ich nun als c [mm] \not= [/mm] 0 hätte, dann wäre die Aufgabe ja gelöst.
a und b können beliebig sein.
Liege ich mit der Vermutung richtig?
Wenn ja (oder auch wenn nicht), wie löse ich das ganze aber rechnerisch?
Ich müsste ja ein LGS aufstellen und erhalte:
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}* \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{3}\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
es folgt:
1.: [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] 2\lambda_{2}+ a\lambda_{3} [/mm] = 0
2.: [mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] b\lambda_{3} [/mm] = 0
3.: [mm] c\lambda_{3} [/mm] = 0
Daraus folgt dann aber, dass c = 0 wäre.
Das steht im Widerspruch zu meiner Vermutung oben, dass c [mm] \not= [/mm] 0 gelten würde...
Wo ist mein Denkfehler?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank vorab! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ich müsste ja ein LGS aufstellen und erhalte:
>
> [mm]\lambda_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_{2}* \vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda_{3}\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
Es geht erstmal weiter mit Text : "Für welche a,b,c folgt daraus zwingend, dass [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 sein muss ?"
> es folgt:
>
> 1.: [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]2\lambda_{2}+ a\lambda_{3}[/mm] = 0
> 2.: [mm]\lambda_{2}[/mm] + [mm]b\lambda_{3}[/mm] = 0
> 3.: [mm]c\lambda_{3}[/mm] = 0
>
> Daraus folgt dann aber, dass c = 0 wäre.
Das folgt eben nicht, sondern umgekehrt folgt zwingend [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 für den Fall, dass c [mm] \not= [/mm] 0 gewählt wird.
Mit dieser (alleinigen) Wahl von c ergeben sich dann aus den Gln. 2. und 1. dass auch [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 sein müssen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 16.03.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Das heisst demnach, dass meine Vermutung c [mm] \not= [/mm] 0 richtig ist?
a und b hingegen beliebig sein können?
Gruss
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Hallo,
> Das heisst demnach, dass meine Vermutung c [mm]\not=[/mm] 0 richtig
> ist?
> a und b hingegen beliebig sein können?
So ist es 
Wenn $c [mm] \not= [/mm] 0$ ist, folgt aus der letzten Gleichung [mm] $\lambda_3 [/mm] = 0$.
Und dadurch (also für [mm] $c\not= [/mm] 0$) ist der Wert von a und b in den ersten beiden deiner Gleichungen irrelevant.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 16.03.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo!
Super, vielen Dank euch beiden!
Ich hab was verstanden :D
Gruss
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:12 Sa 16.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
>
> > Das heisst demnach, dass meine Vermutung c [mm]\not=[/mm] 0 richtig
> > ist?
> > a und b hingegen beliebig sein können?
>
> So ist es
> Wenn [mm]c \not= 0[/mm] ist, folgt aus der letzten Gleichung
> [mm]\lambda_3 = 0[/mm].
> Und dadurch ist der Wert von a und b in den
> ersten beiden deiner Gleichungen irrelevant.
So pauschal ist diese Aussage falsch.
Wenn c=0 gilt und z.B. a doppelt so groß wie b ist, liegt Abhängigkeit zwischen den Vektoren vor.
Die Parameter a und b sind nicht so ganz unabhängig voneinander frei wählbar.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:22 Sa 16.03.2013 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo abakus,
> > So ist es
> > Wenn [mm]c \not= 0[/mm] ist, folgt aus der letzten Gleichung
> > [mm]\lambda_3 = 0[/mm].
> > Und dadurch ist der Wert von a und b
> in den
> > ersten beiden deiner Gleichungen irrelevant.
> So pauschal ist diese Aussage falsch.
> Wenn c=0 gilt und z.B. a doppelt so groß wie b ist, liegt
> Abhängigkeit zwischen den Vektoren vor.
> Die Parameter a und b sind nicht so ganz unabhängig
> voneinander frei wählbar.
> Gruß Abakus
Ich habe in meiner Antwort nur noch den Fall $c [mm] \not= [/mm] 0$ betrachtet. (also auch mit der Aussage "Und dadurch ist der Wert von a und b in den ersten beiden deiner Gleichungen irrelevant.").
Im Falle c = 0 sind a,b trotzdem irrelevant dahingehend, dass die Vektoren auf jeden Fall linear abhängig sind.
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 So 17.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei A die 3x3- Matrix mit den Spalten [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3.
[/mm]
Dann ist det(A)=c.
FRED
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