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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 16.02.2013 | | Autor: | larry_pl |
| Aufgabe | | Es werden Wörter aus den Buchstaben a und h gebildet, die genau n-mal a und genau p-mal h enthalten und in denen keine zwei h unmittelbar hintereinander stehen. Zeigen Sie, dass es genau [mm] \pmat{ n+1 \\ p } [/mm] solche Wörter gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
ich habe mir dazu gedacht, dass [mm] \pmat{ n+1 \\ p } [/mm] rauskommt, weil h p-mal drin ist, jedoch zwischen 2 ein a stehen muss, welches ja n-mal enthalten ist. Dadurch ist a n+1-mal drin.
Stimmt meine Überlegung so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Es werden Wörter aus den Buchstaben a und h gebildet, die
> genau n-mal a und genau p-mal h enthalten und in denen
> keine zwei h unmittelbar hintereinander stehen. Zeigen Sie,
> dass es genau [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] solche Wörter gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
> ich habe mir dazu gedacht, dass [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm]
> rauskommt, weil h p-mal drin ist, jedoch zwischen 2 ein a
> stehen muss, welches ja n-mal enthalten ist. Dadurch ist a
> n+1-mal drin.
> Stimmt meine Überlegung so?
Das greift wesentlich zu kurz.
Da schreibst alle h's auf.
Zwischen denen sind p-1 Lücken, die alle mit mindestens einem a gefüllt werden müssen. Du brauchst jetzt die Anzahl aller Möglichkeiten, Reihenfolgen von p-1 nicht leeren Teilmengen aller a's zu erzeugen.
Damit bist du noch nicht einmal fertig, denn es können ja auch einige a's vor das erste oder hinter das letzte h geschrieben werden.
Vielleicht kommst du auch mit Induktion weiter. Für n<p-1 gibt es keine Lösung, der Bin.-koeffizient ist da tatsächlich 0.
n=p-1 wäre der eigentliche Induktionsanfang.
Zeige nun: Wenn es für n a's [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] Möglichkeiten gibt, dann gibt es für ein a mehr [mm]\pmat{ n+2 \\
p }[/mm] Möglichkeiten.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Sa 16.02.2013 | | Autor: | larry_pl |
Hab was probiert, ist aber wohl falsch.
Induktionsanfang: n=p-1
[mm] \pmat{ p-1+1 \\ p }=\pmat{ p \\ p }=1
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] \pmat{ n+1 \\ p }
[/mm]
Induktionsschritt: n=n+1
[mm] \pmat{ n+1+1 \\ p }= \pmat{ n+2 \\ p }
[/mm]
Edit: Hab den Fehler verbessert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hab was probiert, ist aber wohl falsch.
> Induktionsanfang: n=p-1
> [mm]\pmat{ p-1+1 \\
p }=\pmat{ p \\
p }=0[/mm]
Nein, das ist 1.
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm]
Besser: Für n Buchstaben a gibt es [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] Möglichkeiten.
>
> Induktionsschritt: n=n+1
Ein weiterer Buchstabe a kann in jeder der bisher existierenden Anordnungen an p+1 verschiedenen Stellen eingesetzt werden (in die p-1 Zwischenräume der h-Buchstaben, vor das erste h oder hinter das letzte).
Somit haben wir jetzt
[mm](p+1)*\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] Möglichkeiten.
Zeige, dass dieses Produkt [mm]\pmat{ n+2 \\
p }[/mm] ergibt !
> [mm]\pmat{ n+1+1 \\
p }= \pmat{ n+2 \\
p }[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Sa 16.02.2013 | | Autor: | larry_pl |
So recht weiß ich da nicht weiter.
[mm] (p+1)*\pmat{ n+1 \\ p }= \pmat{ n+1 \\ p-1 }+\pmat{ n+q \\ p }=\pmat{ n+1 \\ p-1 }+\pmat{ n \\ p-1 }
[/mm]
Ist wahrscheinlich vollkommener Quatsch den ich da zusammengerechnet habe. Ich kann damit nicht gut umgehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
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> > Hab was probiert, ist aber wohl falsch.
> > Induktionsanfang: n=p-1
> > [mm]\pmat{ p-1+1 \\
p }=\pmat{ p \\
p }=0[/mm]
>
> Nein, das ist 1.
> >
> > Induktionsvoraussetzung: [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm]
> Besser: Für
> n Buchstaben a gibt es [mm]\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] Möglichkeiten.
>
> >
> > Induktionsschritt: n=n+1
>
> Ein weiterer Buchstabe a kann in jeder der bisher
> existierenden Anordnungen an p+1 verschiedenen Stellen
> eingesetzt werden (in die p-1 Zwischenräume der
> h-Buchstaben, vor das erste h oder hinter das letzte).
> Somit haben wir jetzt
> [mm](p+1)*\pmat{ n+1 \\
p }[/mm] Möglichkeiten.
> Zeige, dass dieses Produkt [mm]\pmat{ n+2 \\
p }[/mm] ergibt !
>
> > [mm]\pmat{ n+1+1 \\
p }= \pmat{ n+2 \\
p }[/mm]
Hallo,
ich merke gerade, dass das so nicht geht.
Bei meiner Vorhehensweise entstehen teilweise gleiche Wörter aus verschiedenen Vor-Wörtern.
Tut mir leid!
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 So 17.02.2013 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ein neuer Versuch:
In [mm] _h_h_h_..._h_h_ [/mm] MUSS zwischen je 2 Buchstaben h mindestens ein a:
_hahaha...ahah_-
Damit sind p-1 Buchstaben a weg.
Die restlichen n-(p-1) Buchstaben a können beliebig auf insgesamt p+1 Positionen verteilt werden (auf Zwischenräume, Anfang und Ende).
Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist gesucht.
Vielleicht hilt das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 So 17.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Sache ist doch sehr einfach, wenn man von den a's ausgeht, nicht von den h's.
n Buchsraben a stehen in einer Reihe, davor, dazwischen, dahinter gibt es insgesamt n+1 mögliche Plätze für p Buchstaben h, wobwi keiner dieser Plätze doppelt besetzt werden darf, also ist die gesuchte Anzahl gleich der Anzahl der Möglichkeiten, p Plätze aus n+1 Plätzen auszuwählen, also [mm] \vektor{n+1 \\ p}.
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 So 17.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> die Sache ist doch sehr einfach, wenn man von den a's
> ausgeht, nicht von den h's.
>
> n Buchsraben a stehen in einer Reihe, davor, dazwischen,
> dahinter gibt es insgesamt n+1 mögliche Plätze für p
> Buchstaben h, wobwi keiner dieser Plätze doppelt besetzt
> werden darf, also ist die gesuchte Anzahl gleich der Anzahl
> der Möglichkeiten, p Plätze aus n+1 Plätzen
> auszuwählen, also [mm]\vektor{n+1 \\
p}.[/mm]
>
> Gruß Sax.
Genial!
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 17.02.2013 | | Autor: | larry_pl |
Danke für deine Lösung.
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