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Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Do 28.11.2019
Autor: Steve96

Hallo!

Ich habe eine Frage bezüglich folgender Definition:


______________________________________________________

Die Normen [mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert$ [/mm] und  [mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert [/mm] '$ auf $V$ heißen äquivalent, falls


[mm] $\exists [/mm] c, C >0 [mm] \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V: c [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert \le \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm] ' [mm] \le [/mm] C [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert$ [/mm]
______________________________________________________


Also, ich verstehe ja die Definition. Man kann die Norm $ [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm] ' $ abschätzen durch eine andere Norm [mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert [/mm] $.

Aber ich verstehe nicht den tieferen Sinn dahinter. Hat diese Definition eine tieferen Sinn ? Vielleicht geometrisch?


Ich meine, die Definition des Skalarprodukts hat mir am Anfang auch nichts gesagt, aber erst im Nachhinein habe ich gemerkt, dass die Definition aus einer geometrischen Intuition entstanden ist.



Hier versuche ich nun das selbe herauszufinden. Die Definition von Äquivalenz zweier Normen sagt mir nicht wirklich was. Steckt da mehr dahinter ? Vielleicht auch geometrisch ? Oder mache ich mir unnötig Gedanken darüber? Ich meine, warum sollte man sonst so eine Definition einführen?



Warum werden beide Normen dann "äquivalent" genannt? Äquivalent bedeutet ja "gleichwertig", aber was hat dieser Begriff mit dieser Ungleichung zu tun? Wo ist da etwas gleichwertig? Bin in der Hinsicht etwas verwirrt.



Hoffe, mir kann jemand helfen :-D

lg, Steve

        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Do 28.11.2019
Autor: fred97

Also: V sei versehen mit zwei Normen [mm] $||\cdot||$ [/mm] und  [mm] $||\cdot||'$ [/mm]  und diese beiden Normen seien äquivalent.

Dann erzeugen beide Normen die gleiche Topologie, d.h.:

ist M eine Teilmenge von V, so ist M offen bezüglich [mm] $||\cdot||$ [/mm]  genau dann , wenn M offen bezüglich [mm] $||\cdot||'$ [/mm]  ist.

Weiter: ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in V und x [mm] \in [/mm] V, so gilt:

[mm] (x_n) [/mm] konvergiert bezüglich [mm] $||\cdot||$ [/mm]  gegen x genau dann, wenn [mm] (x_n) [/mm] bezüglich [mm] $||\cdot||'$ [/mm] gegen x konvergiert.

Noch eine Kostprobe: $(V, [mm] ||\cdot||)$ [/mm] ist ein Banachraum, genau dann wenn  $(V, [mm] ||\cdot||')$ [/mm] ein Banachraum ist.



Bezug
        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Do 28.11.2019
Autor: Steve96

Ah, jetzt macht das etwas Sinn.

Der Name "äquivalent" kommt also daher, weil durch diese Ungleichung sich für beide Normen  in manchen Fällen äquivalente Bedingungen ergeben?

Also z. B, dass $(V, [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert)$ [/mm] ein Banachraum ist, unter der Bedingung, dass   $(V, [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert')$ [/mm] ein Banachraum ist, und umgekehrt.

Habe ich Recht?


Sonst habe ich keine anderen Fragen mehr. Danke für die Hilfe :-)


lg, Steve

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Do 28.11.2019
Autor: fred97


> Ah, jetzt macht das etwas Sinn.

Etwas ?


>  
> Der Name "äquivalent" kommt also daher, weil durch diese
> Ungleichung sich für beide Normen  in manchen Fällen
> äquivalente Bedingungen ergeben?

Na ja, woher "äquivalent " kommt, kann ich Dir nicht genau sagen. Aber vielleicht ist folgendes hilfreich:

Sei V ein Vektorraum (über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC). [/mm] Nun betrachten wir die Menge N aller Normen auf V und definieren eine Relation R auf $N [mm] \times [/mm] N$ wie folgt:  für $ || [mm] \cdot|| \in [/mm] N$ und $ || [mm] \cdot||' \in [/mm] N$  def. wir

$ || [mm] \cdot|| [/mm] R  || [mm] \cdot||' \gdw [/mm]   || [mm] \cdot|| [/mm] $ und  $|| [mm] \cdot||' [/mm] $ sind äquivalent.

Dann ist leicht zu sehen, dass R eine Äquivalenzrelation ist.


>  
> Also z. B, dass [mm](V, \vert \vert \cdot \vert \vert)[/mm] ein
> Banachraum ist, unter der Bedingung, dass   [mm](V, \vert \vert \cdot \vert \vert')[/mm]
> ein Banachraum ist, und umgekehrt.
>  
> Habe ich Recht?

Ja


>  
>
> Sonst habe ich keine anderen Fragen mehr. Danke für die
> Hilfe :-)
>  
>
> lg, Steve


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