exaktes Differential < Thermodynamik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 24.10.2012 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Ist dies ein exaktes Differential?
[mm] $dF(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy [/mm] |
Hallo Forum!
Seit Tagen versuche ich diese Aufgabe zu lösen, aber irgendwie will mir das nicht gelingen.
In vielen Büchern und Internetseiten findet man ja die Behauptung:
Ist $dF=A(x,y)dx+B(x,y)dy$ und [mm] $\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}\quad [/mm] (1)$ so ist $dF$ ein exaktes Differential.
Wenn man Glück hat noch mit einer kleinen Nebenbemerkung, dass dies nur für sternförmige Gebiete gilt, manchmal auch nur für einfach zusammenhängende Gebiete und manchmal völlig ohne Kommentar.
Das Problem bei dieser Aufgabe ist ja, dass (1) erfüllt ist. Aber A und B sind ja für x=y=0 nicht definiert. Wenn man für einen Kreis um den Ursprung [mm] $\int_{\partial C}dF$ [/mm] berechnet verschwindet das Integral nicht, somit kann man sich schonmal sicher sein, dass das kein exaktes Differential sein kann.
Aber was genau ist denn jetzt ein exaktes Differential?
Ich habe schon oft gelesen, dass ein exaktes Differential die Form hat:
[mm] $dF=\sum_{i}\frac{\partial F}{\partial x_i}dx_i\quad [/mm] (2)$ was ich eigentlich als totales Differential kenne.
Wenn man das als Definition nimmt, wäre aber die Angabe der Aufgabe exakt, wenn man zb [mm] $F(x,y)=\tan^{-1}\left(
\frac{y}{x}\right)+C$ [/mm] wählt.
Ein anderer Ansatz, den ich überlegt habe wäre:
Soll $dF$ exakt sein und man nimmt die obige Definition $(2)$, dann müsste doch gelten:
[mm] $F(x,y)=\int [/mm] A(x,y) dx + [mm] \tilde [/mm] A(y)$
und
[mm] $F(x,y)=\int [/mm] B(x,y) dy + [mm] \tilde [/mm] B(x)$
somit
[mm] $\int A(x,y)dx-\int B(x,y)dy=\tilde B(x)-\tilde [/mm] A(y) (4)$
Wenn man das für die Angabe durchführt kommt man auf
[mm] $\int A(x,y)dx-\int B(x,y)dy=\tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+C$
[/mm]
Dann wäre meiner Meinung nach $(4)$ nicht erfüllbar und das Differential somit nicht exakt.
Aber das kann ja auch nicht stimmen, ich würde ja jetzt behaupten, es gäbe keine Funktion für die [mm] $dF=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ [/mm] erfüllbar ist, aber weiter oben habe ich genau die ja schon angegeben...
Ich nehme mal an, dass es hier wohl wichtig ist, an irgendwelchen, mir leider nicht bekannten Stellen mathematisch korrekt zu sein...ich entschuldige mich schonmal im Voraus für fälschlich verwendete Begriffe in meinem Roman von oben ;)
und hoffe, dass mir jemand Helfen kann
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
ein Differential [mm]\mathrm{d}F[/mm] heisst dann exakt, wenn man eine Funktion
(nennen wir sie hier mal [mm]G[/mm], damit man nicht sofort denkt, dass es eine solche Funktion immer gibt) finden kann, so dass gilt
[mm]\mathrm{d}F=A(x,y)\mathrm{d}x + B(x,y)\mathrm{d}y = \mathrm{d}G[/mm]
Wenn es dieses [mm]G(x,y)[/mm] gibt, dann kann man [mm]\mathrm{d}G[/mm] ja auch schreiben
als
[mm]\mathrm{d}G(x,y)=\frac{\partial G}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial G}{\partial y}\mathrm{d}y[/mm]
so dass man identifizieren kann
[mm]A(x,y) = \frac{\partial G}{\partial x}[/mm]
und
[mm]B(x,y)=\frac{\partial G}{\partial y}[/mm]
Wenn jetzt [mm]G(x,y)[/mm] hinreichend gutmuetig ist, dann sollten die zweiten
Ableitungen der Funktion vertauschen. Es soll also gelten
[mm]\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 G}{\partial y \partial x}[/mm]
Setzt man nun $A(x,y)$ und $B(x,y)$ von oben ein, so kommt man auf die
Behauptung, dass gelten muss
[mm] $\frac{\partial B(x,y)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}$
[/mm]
Nun, und da du die Funktion $G(x,y)$ ja schon gefunden hast, und gezeigt
hast, dass [mm] $\mathrm{d}G=\mathrm{d}F$ [/mm] gilt, kann man schon behaupten,
dass es sich dabei um ein exaktes Differential handelt.
LG
Kroni
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