kl. Abstand v zw Hyp u Punkt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Hyperbel hyp hat v Punkt P (5/0) den kleinsten Abstand? hyp: 2x²-3y²=6 |
Hallo
und gleich noch so eine Extremwertaufgabe
was ist denn da meine ZF? irgendwas mit d, aber doch nicht die Berührbedinung oder?
Hab grade einen knoten im Hirn (ich denk mir das das einfach der "Nullpunkt" der Hyperbel sein muss oder, also [mm] \wurzel{3}, [/mm] aber das kannst doch nicht sein!?)
danke schon mal
lg ww
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo wonderwall,
> Welcher Punkt der Hyperbel hyp hat v Punkt P (5/0) den
> kleinsten Abstand? hyp: 2x²-3y²=6
> Hallo
>
> und gleich noch so eine Extremwertaufgabe
> was ist denn da meine ZF? irgendwas mit d, aber doch nicht
> die Berührbedinung oder?
Du brauchst die Entfernung d eines Hyperbelpunktes Q(x|y) vom Punkt P.
d berechnest du mit Hilfe des Pythagoras:
[mm] $d^2 [/mm] = [mm] (x-5)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] $
Noch ein Tip: Die Minimumstellen von [mm] d^2 [/mm] sind die gleichen wie von d.
> Hab grade einen knoten im Hirn (ich denk mir das das
> einfach der "Nullpunkt" der Hyperbel sein muss oder, also
> [mm]\wurzel{3},[/mm] aber das kannst doch nicht sein!?)
Nach der Zeichnung sieht es fast so aus. Aber rechnen musst du es auf jeden Fall. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, ist es ein anderer Punkt.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 07.06.2006 | | Autor: | wonderwall |
hola
danke! der alte pytagoras verläßt uns nicht *gg*
werd mal so rechnen, is eh logisch, ich sollte meine skizzen sorgfältiger machen
lg ww
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hi
also ich hab nun y² ausgedrückt= [mm] \bruch{2x²-6}{3}
[/mm]
in ZF:d²= [mm] \bruch{2x²-6}{3} [/mm] + x²-10x+25
die [mm] \wurzel{} [/mm] lass ich als konst. glied einfach weg
--> f'= [mm] \bruch{4x*3-(2x²-6)*0}{9} [/mm] + 2x - 10 /*9
12x-2x²-6+18x-90=0
2x²+30x-96=0
x²+15-48=0
[mm] x_{1,2}= [/mm] - [mm] \bruch{15}{2}+- \wurzel{ \bruch{15}{2}² +48}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= [/mm] - [mm] \bruch{15}{2}+- \wurzel{417}/2
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] ~2,71 [mm] x_{2}=~-17,71
[/mm]
--> f''= 4x+30 --> f''(2,7): 40,84>0 --> TP
in y² von ganz oben einsetzen: y=1,702
grausliche zahlen, aber es passt doch oder?
X(2,71/1,702)
lg ww
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wonderwall!
> also ich hab nun y² ausgedrückt= [mm]\bruch{2x²-6}{3}[/mm]
> in ZF:d²= [mm]\bruch{2x²-6}{3}[/mm] + x²-10x+25
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schreibe dies mal um zu:
$f(x) \ = \ [mm] d^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*2x^2-\bruch{1}{3}*6+x^2-10x+25 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}x^2-2+x^2-10x+25 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}x^2-10x+23$
[/mm]
Und wenn Du nun ableitest, wirst Du Deinen Fehler bestimmt erkennen ...
Dann entsteht auch ein schönes glattes Ergebnis heraus.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 07.06.2006 | | Autor: | wonderwall |
hola
:patsch: na klar, muss ja gar keine quotientenregel machen
danke!
lg ww
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morgen:
f'= [mm] \bruch{10}{3}x-10 [/mm] --> 10x=30--> x=3 und y=+-2
dh. ich hab eigentlich 2 Punkte die gl. weit entfernt sind nämlich (3/2) u (3/-2).....
ich wenn ich mit f'' überprüfen will, ob wirklich TP ist, geht das nicht, weil f''= [mm] \bruch{10}{3} [/mm] und da kann ich nun gar keinen x-Wert einsetzen...
stimmt das trotzdem? oder hab ich schon wieder wo einen Fehler eingebaut....aber ich komm bei der f' einfach nicht auf eine quadrat. Formel, obwohl ich doch eine erwarte (weil es wird ja wohl TP UND HP, geben, oder?)
sorry, aber nun bin ich verunsichert
lg ww
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Do 08.06.2006 | | Autor: | wonderwall |
hola!
Danke dir, manchmal seh ich vor lauter bäumen den wald nicht, eh klar, dass eine parabel nur 1 Extrempunkt hat (also, wenn man das so nennen kann)
u wenn der Ausgang eine quadtr. Gleichung is, dann kann die ja nur "kleiner" werden
Super, danke nochmals
lg ww
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