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kubische Splines: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mi 26.09.2018
Autor: sancho1980

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem mit meinem Buch. Es werden dort kubische Splines erklärt, also Polynome vom Grad 3. Jedes Polynom [mm] P_j [/mm] soll gelten in den Grenzen von [mm] (x_j, y_j) [/mm] und [mm] (x_{j+1}, y_{j+1}). [/mm] Dann heißt es lapidar:

"Deshalb machen wir den Ansatz

[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)(x [/mm] - [mm] x_{j+1})^2 [/mm] + [mm] b_j(x [/mm] - [mm] x_j)^2(x [/mm] - [mm] x_{j+1}) [/mm]

Wählen wir

[mm] k_j [/mm] = [mm] \bruch{y_{j+1} - y_{j}}{x_{j+1} - x_{j}} [/mm]

so sind auf jeden Fall einmal die Werte an den Rändern richtig."


Das mit [mm] k_j [/mm] und den Werten an den Rändern leuchtet mir ein. Was ich nicht verstehe: Warum reicht es nicht aus, den Ansatz

[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)(x [/mm] - [mm] x_{j+1})^2 [/mm]

bzw.



[mm] P_j(x) [/mm] = [mm] y_j [/mm] + [mm] k_j(x [/mm] - [mm] x_j) [/mm] + [mm] a_j(x [/mm] - [mm] x_j)^2(x [/mm] - [mm] x_{j+1}) [/mm]

zu gehen. Auch hier ist doch sichergestellt, dass es sich um ein Polynom vom Grad 3 handelt?

        
Bezug
kubische Splines: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:50 Do 27.09.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe ein Verständnisproblem mit meinem Buch. Es werden
> dort kubische Splines erklärt, also Polynome vom Grad 3.
> Jedes Polynom [mm]P_j[/mm] soll gelten in den Grenzen von [mm](x_j, y_j)[/mm]
> und [mm](x_{j+1}, y_{j+1}).[/mm] Dann heißt es lapidar:
>  
> "Deshalb machen wir den Ansatz
>  
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)(x[/mm] - [mm]x_{j+1})^2[/mm] +
> [mm]b_j(x[/mm] - [mm]x_j)^2(x[/mm] - [mm]x_{j+1})[/mm]
>  
> Wählen wir
>  
> [mm]k_j[/mm] = [mm]\bruch{y_{j+1} - y_{j}}{x_{j+1} - x_{j}}[/mm]
>  
> so sind auf jeden Fall einmal die Werte an den Rändern
> richtig."
>  
>
> Das mit [mm]k_j[/mm] und den Werten an den Rändern leuchtet mir
> ein. Was ich nicht verstehe: Warum reicht es nicht aus, den
> Ansatz
>  
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)(x[/mm] - [mm]x_{j+1})^2[/mm]
>  
> bzw.
>  
>
>
> [mm]P_j(x)[/mm] = [mm]y_j[/mm] + [mm]k_j(x[/mm] - [mm]x_j)[/mm] + [mm]a_j(x[/mm] - [mm]x_j)^2(x[/mm] - [mm]x_{j+1})[/mm]
>  
> zu gehen. Auch hier ist doch sichergestellt, dass es sich
> um ein Polynom vom Grad 3 handelt?

Das alleine reicht nicht !

Es müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

(1) [mm] P_j(x_j)=y_j, P_j(x_{j+1})=y_{j+1} [/mm] für j=0,...,n-1;

(2) [mm] P_j'(x_{j+1})=P_{j+1}'(x_{j+1}) [/mm]  für j=0,...,n-2

und

(3) [mm] P_j''(x_{j+1})=P_{j+1}''(x_{j+1}) [/mm]  für j=0,...,n-2.

Bei Deinen Ansätzen ist zwar (1) erfüllt, die Eigenschaften (2) und (3) aber nicht. Rechne es nach !




Bezug
                
Bezug
kubische Splines: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:41 So 30.09.2018
Autor: sancho1980

Ok, soweit so gut. Was dann folgt, ist mir leider auch nicht so ganz klar. Ich muss jetzt wieder ein bisschen zitieren, und erkläre am Schluss wieder, was mir unklar ist. Es geht also nach dem bereits Zitierten weiter mit:

"Für die erste Ableitung kann man nachrechnen, dass

[mm] P_j'(x_j) [/mm] = [mm] k_j [/mm] + [mm] a_j(x_j [/mm] - [mm] x_{j+1})^2, [/mm]
[mm] P_j'(x_{j+1}) [/mm] = [mm] k_j [/mm] + [mm] b_j(x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j)^2 [/mm]

gilt und für die zweite

[mm] P_j''(x_j) [/mm] = [mm] 2(2a_j [/mm] + [mm] b_j)(x_j [/mm] - [mm] x_{j+1}), [/mm]
[mm] P_j''(x_{j+1}) [/mm] = [mm] 2(a_j [/mm] + [mm] 2b_j)(x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j). [/mm]

Bezeichnen wir die Ableitung am Stützpunkt [mm] x_j [/mm] mit [mm] z_j, [/mm] so folgt aus der Bedingung, dass die ersten Ableitungen benachbarter Polynome übereinstimmen sollen,

[mm] P_j'(x_j) [/mm] = [mm] z_j, P_j'(x_{j+1}) [/mm] = [mm] P_{j+1}(x_{j+1}) [/mm] = [mm] z_{j+1}, [/mm]

sofort

[mm] a_j [/mm] = [mm] \bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2} [/mm] und [mm] b_j [/mm] = [mm] \bruch{z_{j+1} - k}{(x_{j+1} - x_j)^2}. [/mm]

Aus der Bedingung, dass auch die zweiten Ableitungen zusammenpassen müssen,

[mm] P_j''(x_{j+1}) [/mm] = [mm] P_{j+1}''(x_{j+1}), [/mm]

erhält man

[mm] \Delta_{j+1}z_j [/mm] + [mm] 2(\Delta_j [/mm] + [mm] \Delta_{j+1})z_{j+1} [/mm] + [mm] \Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3(k_j\Delta_{j+1} [/mm] + [mm] k_{j+1}\Delta_j), \Delta_j [/mm] = [mm] x_{j+1} [/mm] - [mm] x_j, [/mm]

also eine inhomogene lineare Rekursion zweiter Ordnung für die Ableitungen [mm] z_j [/mm] an den Stützstellen."

Ich kann leider keinen Rechnenweg finden, um auf die letzte Gleichung mit den vielen [mm] \Delta [/mm] zu kommen. Kann mir das jemand vielleicht mit ein paar mehr Zwischenschritten erklären?

Bezug
                        
Bezug
kubische Splines: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Di 02.10.2018
Autor: meili

Hallo sancho1980,

> Ok, soweit so gut. Was dann folgt, ist mir leider auch
> nicht so ganz klar. Ich muss jetzt wieder ein bisschen
> zitieren, und erkläre am Schluss wieder, was mir unklar
> ist. Es geht also nach dem bereits Zitierten weiter mit:
>  
> "Für die erste Ableitung kann man nachrechnen, dass
>  
> [mm]P_j'(x_j)[/mm] = [mm]k_j[/mm] + [mm]a_j(x_j[/mm] - [mm]x_{j+1})^2,[/mm]
>  [mm]P_j'(x_{j+1})[/mm] = [mm]k_j[/mm] + [mm]b_j(x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j)^2[/mm]
>  
> gilt und für die zweite
>  
> [mm]P_j''(x_j)[/mm] = [mm]2(2a_j[/mm] + [mm]b_j)(x_j[/mm] - [mm]x_{j+1}),[/mm]
>  [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]2(a_j[/mm] + [mm]2b_j)(x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j).[/mm]
>  
> Bezeichnen wir die Ableitung am Stützpunkt [mm]x_j[/mm] mit [mm]z_j,[/mm] so
> folgt aus der Bedingung, dass die ersten Ableitungen
> benachbarter Polynome übereinstimmen sollen,
>  
> [mm]P_j'(x_j)[/mm] = [mm]z_j, P_j'(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}(x_{j+1})[/mm] =
> [mm]z_{j+1},[/mm]
>  
> sofort
>  
> [mm]a_j[/mm] = [mm]\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}[/mm] und [mm]b_j[/mm] =
> [mm]\bruch{z_{j+1} - k}{(x_{j+1} - x_j)^2}.[/mm]
>  
> Aus der Bedingung, dass auch die zweiten Ableitungen
> zusammenpassen müssen,
>  
> [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}''(x_{j+1}),[/mm]
>  
> erhält man
>  
> [mm]\Delta_{j+1}z_j[/mm] + [mm]2(\Delta_j[/mm] + [mm]\Delta_{j+1})z_{j+1}[/mm] +
> [mm]\Delta_jz_{j+2}[/mm] = [mm]3(k_j\Delta_{j+1}[/mm] + [mm]k_{j+1}\Delta_j), \Delta_j[/mm]
> = [mm]x_{j+1}[/mm] - [mm]x_j,[/mm]
>  
> also eine inhomogene lineare Rekursion zweiter Ordnung für
> die Ableitungen [mm]z_j[/mm] an den Stützstellen."
>  
> Ich kann leider keinen Rechnenweg finden, um auf die letzte
> Gleichung mit den vielen [mm]\Delta[/mm] zu kommen. Kann mir das
> jemand vielleicht mit ein paar mehr Zwischenschritten
> erklären?

Ausgehend von [mm]P_j''(x_{j+1})[/mm] = [mm]P_{j+1}''(x_{j+1})[/mm]     oben stehende zweite Ableitungen einsetzen

[mm] $2(a_j+2b_j)(x_{j+1}-x_j) [/mm] = [mm] 2(2a_{j+1}+b_{j+1})(x_{j+1}-x_{j+2})$ [/mm]        für [mm] $a_j$, $b_j$, $a_{j+1}$, $b_{j+1})$ [/mm] obenstehenden Werte, berechnet aus Gleichheit der 1. Ableitung an den Stützstellen, einsetzen

[mm] $2\left(\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}+2\bruch{z_{j+1} - k_j}{(x_{j+1} - x_j)^2}\right)(x_{j+1}-x_j) [/mm] = [mm] 2\left(2\bruch{z_{j+1} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})^2} +\bruch{z_{j+2} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})^2}\right)(x_{j+1}-x_{j+2})$ [/mm]      aus der letzten Klammer auf der rechten Seite -1 ausklammern, damit man kürzen kann,
                                                                                auch auf der linken Seite kürzen

[mm] $2\left(\bruch{z_j - k_j}{(x_{j+1} - x_j)}+2\bruch{z_{j+1} - k_j}{(x_{j+1} - x_j)}\right) [/mm] = [mm] -2\left(2\bruch{z_{j+1} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})} +\bruch{z_{j+2} - k_{j+1}}{(x_{j+2} - x_{j+1})}\right)$ [/mm]   bei gleichem Nenner zusammenfassen und Zähler ausmultiplizieren

[mm] $\bruch{2z_j+4z_{j+1}-6k_j}{x_{j+1}-x_j} [/mm] = [mm] \bruch{-4z_{j+1}-2z_{j+2}+6k_{j+1}}{x_{j+2}-x_{j+1}}$ [/mm]    Gleichung mit den Nennern multiplizieren und durch 2 teilen

[mm] $(z_j+2z_{j+1}-3k_j)(x_{j+2}-x_{j+1}) [/mm] = [mm] (-2z_{j+1}-z_{j+2}+3k_{j+1})(x_{j+1}-x_j)$ $x_{j+2}-x_{j+1} [/mm] = [mm] \Delta_{j+1}$ [/mm] und  [mm] $x_{j+1}-x_j [/mm] = [mm] \Delta_j$ [/mm] ersetzen

[mm] $(z_j+2z_{j+1}-3k_j) \Delta_{j+1} [/mm] = [mm] (-2z_{j+1}-z_{j+2}+3k_{j+1}) \Delta_j$ [/mm]      ausmultiplizieren und Terme mit z auf die linke Seite mit k auf die rechte Seite bringen

[mm] $\Delta_{j+1}z_j+2\Delta_{j+1}z_{j+1}+2\Delta_jz_{j+1}+\Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3k_{k+1}\Delta_j+3k_j\Delta_{j+1}$ [/mm]       ausklammern

[mm] $\Delta_{j+1}z_j+2(\Delta_{j+1}+\Delta_j)z_{j+1}+\Delta_jz_{j+2} [/mm] = [mm] 3(k_{k+1}\Delta_j+k_j\Delta_{j+1})$ [/mm]

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
kubische Splines: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:16 Di 02.10.2018
Autor: sancho1980

Ich danke dir für die Mühe. Hmmm, -1 ausklammern!!!!

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