lineare Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 So 08.04.2012 | | Autor: | aNd12121 |
| Aufgabe | | Es soll die Funktion f(x) = cos(x) durch lineare Interpolation auf 4 Dezimalen genau angenähert werden. Man soll äquidistante Stützstellen nehmen. Gefragt wird nun wie viele Stützstellen man dafür benötigt. |
Hallo,
Leider weiß ich da nicht genau wie ich das zu berechnen habe.
Mag mir da vielleicht jemand helfen?
mit freundlichen Grüßen
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Hallo,
> Es soll die Funktion f(x) = cos(x) durch lineare
> Interpolation auf 4 Dezimalen genau angenähert werden. Man
> soll äquidistante Stützstellen nehmen. Gefragt wird nun
> wie viele Stützstellen man dafür benötigt.
>
> Hallo,
>
> Leider weiß ich da nicht genau wie ich das zu berechnen
> habe.
> Mag mir da vielleicht jemand helfen?
>
Was hast du denn bis jetzt über lineare Interpolation gelernt ?
Schreib am besten mal auf WAS du weißt, bzw was du bis jetzt berechnet hast (sofern du das getan hast).
> mit freundlichen Grüßen
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mo 09.04.2012 | | Autor: | aNd12121 |
Hallo,
eigentlich hab wir lineare Interpolation gar nicht behandelt. Wir haben mit Interpolationspolynomen gearbeitet.
-Lagrangsche Form
-Newtonsche Form
und die Fehlerabschätzung dazu haben wir gemacht. Zu der Aufgabe selber hab ich leider noch überhaupt keinen Ansatz, wie ich da ran gehen soll.
mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> eigentlich hab wir lineare Interpolation gar nicht
> behandelt. Wir haben mit Interpolationspolynomen
> gearbeitet.
>
> -Lagrangsche Form
> -Newtonsche Form
>
> und die Fehlerabschätzung dazu haben wir gemacht. Zu der
> Aufgabe selber hab ich leider noch überhaupt keinen
> Ansatz, wie ich da ran gehen soll.
na, das, was ihr gemacht habt, reicht doch. Schreib' doch mal hin, wie allgemein ein Interpolationspolynom, vielleicht im Zeichen [mm] $P=P_n$? [/mm] (es ist auch [mm] $P=P_{n}=P_{n,f}\,:$ [/mm] das Interpolationspolynom hängt natürlich von der betrachteten Funktion ab, die man untersuchen will), aussieht. Und dann, wie die Fehlerabschätzung [mm] $\|f-P_n\|_\infty$ [/mm] aussieht. Danach speziell [mm] $f=\cos$ [/mm] einsetzen, und schauen, wann dieser Fehler sicher [mm] $\le$ [/mm] der vorgegebenen Schranke ist.
Evtl. solltest Du hier daran denken, dass der [mm] $\cos$ $2\pi$-periodisch [/mm] ist - ich denke nämlich, dass sich die Fehlerabschätzung sich auf ein kompaktes Intervall [mm] $[a,b]\,$ [/mm] (mit $b [mm] \ge [/mm] a$) bezieht!
Edit:
Ich bin irgendwie ein wenig verwirrt: Wenn die Aufgabenstellung wirklich so lautet, dann ist's DOCH so, dass Du nachgucken musst, was Du über lineare Interpolation und einer entsprechenden Fehlerabschätzung gelernt hast und wie die entsprechende Fehlerabschätzung aussieht! Grob' gesagt:
Ihr solltet irgendwie gelernt haben, wie man den Graphen einer Funktion anhand von "geeigneten Polygonzügen" approximieren kann! (Und je nach Wahl der Stützstellen (Anzahl, maximaler Abstand zweier aufeinanderfolgender Stützstellen) approximiert man halt "gut" oder "weniger gut".)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 09.04.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du könntest z.B. bei x=0 beginnend mit einer Schrittweite [mm] \Delta [/mm] den Bereich zwischen 0 und [mm] 2*\pi [/mm] äquidistant zerlegen. Durch die Stützpunkte [mm] (x_k,cos(x_k)) [/mm] und [mm] (x_{k+1},cos(x_{k+1})) [/mm] legst Du eine Gerade.
Die Formel für die Gerade vergleichst Du mit dem Cosinus und durch verwenden des Mittelwertsatzes der Differentialgleichung schätzt Du die Differenz in Abhängigkeit von [mm] \Delta [/mm] ab. Aus der Forderung das Du auf vier Stellen genau sein musst, kannst Du eine Schranke für [mm] \Delta [/mm] ableiten.
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