matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, Körpernoethersch/ Untermodul
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - noethersch/ Untermodul
noethersch/ Untermodul < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

noethersch/ Untermodul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Di 28.11.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Zeige, ist [mm] X\subseteq \IZ^n [/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm] \IZ^n, [/mm] so gibt es immer eine endliche Teilmenge [mm] \lbrace x_1,...,x_k\rbrace [/mm] von X, so dass jedes Element von X eine Linearkombination von [mm] x_1,....,x_k [/mm] mit ganzzahligen Koeffizienten ist.


Hallo miteinander,


zu zeigen ist: Es ex. [mm] x_1,....,x_n\in [/mm] X: [mm] M=\langle x_1,...,x_n\rangle_{\IZ} [/mm]
[mm] \IZ^n [/mm] ist noethersch, da wie [mm] \IZ^n=\IZ\oplus....\oplus\IZ [/mm] und wir wissen dass [mm] \IZ [/mm] noethersch ist. Aus der VL wissen wir außerdem: Wenn [mm] M_1,...,M_n [/mm] noethersch sind dann ist auch [mm] M_1\oplus....\oplus M_n [/mm] noethersch

[mm] \Rightarrow \IZ^n [/mm] noethersch

[mm] M\leq \IZ [/mm] , M Untermodul [mm] \Rightarrow [/mm] M endlich erzeugt
[mm] \Rightarrow m_1,...,m_l\in [/mm] M

irgendwie komme ich nicht weiter. könnte mir da jemand weiterhelfen?
Danke!



        
Bezug
noethersch/ Untermodul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Di 28.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Überlege dir das folgende nützliche Lemma: Besitzt ein Modul $M$ ein endliches Erzeugendensystem, so kann jedes Erzeugendensystem von $M$ zu einem endlichen verkleinert werden. Die analoge Aussage gilt für Gruppen, Körper, ...

Wende das auf den von $X$ erzeugten Untermodul an.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
noethersch/ Untermodul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Di 28.11.2017
Autor: mimo1

Meinst du damit, dass man der vonX erzeugte Untermodul [mm] \langle X\rangle_{\IZ} \subseteq \IZ^n [/mm] de kleinste [mm] \IZ-Untermodul [/mm]  ist, der X enthält, also

[mm] \langle X\rangle_{\IZ}=\lbrace \sum_{i=1}^n a_i\in\IZ [/mm] und [mm] x_i\in X\rbrace [/mm]

Bezug
                
Bezug
noethersch/ Untermodul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Di 28.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Das ist kein Satz.

Ich meine, dass du dir [mm] $\langle X\rangle$ [/mm] angucken sollst. Da [mm] $\IZ^n$ [/mm] noethersch ist, gibt es ein endliches Erzeugendensystem für [mm] $\langle X\rangle$. [/mm] Darauf sollst du mein Lemma anwenden (das du zunächst beweisen sollst) und dann mal sehen, was sich so ergibt.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]