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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 12.04.2008 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass füeinen metrischen Raum (M; d) die
Metrik
d : [mm] (M\times [/mm] M; [mm] d\times [/mm] d) [mm] \to [/mm] (R; |.|)
eine Lipschitz-stetige Funktion mit Lipschitz-Konstante L = 1 ist. |
hey leute
irgendwie verstehe ich die ganze aufgabe nicht.. irgendwie bildet die metrik d gar nicht von [mm] M\times [/mm] M nach [mm] \IR [/mm] ab wie metriken ja eigentlich defniert sind, außerdem sehe ich hier gar keine abbildungsvorschrift..
kann vllt jemand licht ins dunkle bringen :D
gruß ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Totaler Edit
Hallo,
erstmal Sorry, ich war wohl ein wenig *daneben*. Ich muss meine ganzen Aussagen nochmal korrigieren.
> Zeigen Sie, dass füeinen metrischen Raum (M; d) die
> Metrik
> $d$ : [mm](\blue{M\times M; d\times d}) \to[/mm] (R; |.|)
> eine Lipschitz-stetige Funktion mit Lipschitz-Konstante L
> = 1 ist.
> hey leute
>
>
> irgendwie verstehe ich die ganze aufgabe nicht.. irgendwie
> bildet die metrik d gar nicht von [mm]M\times[/mm] M nach [mm]\IR[/mm] ab wie
> metriken ja eigentlich defniert sind, außerdem sehe ich
> hier gar keine abbildungsvorschrift..
> kann vllt jemand licht ins dunkle bringen :D
Eine Funktion $f: [mm] (M,d_M) \to (N,d_N)$ [/mm] heißt ja Lipschitzstetig genau dann, wenn es eine Konstante $L > 0$ so gibt, dass
[mm] $d_N(f(x),f(y)) \le L*d_M(x,y)$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] M [mm] \times [/mm] M$ (oder gleichwertig: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M).
Oben:
Für die Funktion $d$ ist nun zu zeigen:
Sind $x,y [mm] \in M^2$, [/mm] also [mm] $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2,y_1,y_2 \in [/mm] M$, so hast Du zu zeigen, dass dann
[mm] $|d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)| \le [/mm] (d [mm] \times [/mm] d)(x,y)$
(In der Behauptung steht ja, dass $L=1$ gehen soll.)
Denn in [mm] $\blue{M \times M}=M^2$ [/mm] misst man den Abstand zwischen $x,y [mm] \in M^2$ [/mm] mittels [mm] $\blue{d \times d}$.
[/mm]
(Nachgucken, wie ihr $d [mm] \times [/mm] d$ definiert habt!)
Die Funktion $d$ entspricht oben $f$, also:
$x [mm] \in M^2 \gdw x=(x_1,x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] M$ und dann ist [mm] $f(x)=d(x)=d((x_1,x_2))=d(x_1,x_2)$.
[/mm]
Analog für $y$.
Hier ist nun [mm] $N=\IR$ [/mm] und [mm] $d_N=|.|$, [/mm] d.h.:
[mm] $d_N(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|d(x)-d(y)|=|d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)|$
[/mm]
So, schwere Geburt, entschuldige, falls ich Verwirrung gestiftet haben sollte ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 13.04.2008 | | Autor: | AriR |
ne antwort ist super..dankeschön :)
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