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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] 4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 13 teilbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich komme an folgender Stelle des Induktionsschlusses nicht mehr weiter:
Die Induktions Voraussetzung ist : [mm] (4^{2(n+1)+1} [/mm] + [mm] 3^{n+1+2}) [/mm] /13=n
= [mm] (4^{2n+3} [/mm] + [mm] 3^{n+3}) [/mm] /13
Ich komme dann auf:
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n
[/mm]
der hintere Teil [mm] 13*4^{2n+1} [/mm] ist ja klar. Der ist immer durch 13 teilbar.
Aber was mach ich mit dem vorderen Teil?
Ich komme nicht weiter.
Danke für eure Hilfe.
Jakob
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Fr 18.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
Behauptung:
[mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] durch 13 teilbar
Induktionsanfang: n=1:
[mm] 4^{2*1+1}+3^{1+2}=4^{3}+3^{3}=91=13*7 [/mm] (also: ist durch 13 teilbar!)
Induktionsvoraussetzung: [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] durch 13 teilbar gelte [mm] \forall n\in\IN.
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to{n+1}
[/mm]
[mm] 4^{2(n+1)+1}+3^{(n+1)+2}=4^{2n+3}+3^{n+3}=4^{2n+1}*4^2+3^{n+2}*3
[/mm]
[mm] =4^{2n+1}\cdot3+3^{n+2}\cdot3+13\cdot4^{2n+1}=\underbrace{\underbrace{3*\underbrace{(4^{2n+1}+3^{n+2})}_{\text{nach IV durch 13 teilbar!}}}_{\text{dann ist ein vielfaches (3fache) auch durch 13 teilbar}}+\underbrace{13\cdot4^{2n+1}}_{\text{Auch durch 13 teilbar!}}}_{\text{Insgesamt durch 13 teilbar}}
[/mm]
Da du vielfache von 13 addierst, erhälst du wieder ein vielfaches von 13,daher [mm] \text{Insgesamt durch 13 teilbar}!
[/mm]
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
Ah,
klar.
Danke barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jedi84 |
Die Antwort von Barsch ist natürlich komplett richtig, aber du warst schon fast da. Gekommen bist du bis:
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n
[/mm]
wobei besser
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=m
[/mm]
Denn es handelt sich wohl nicht um dasselbe n.
An dieser Stelle hättest du nur noch die 3 aus den beiden vorderen Summanden ausklammern sollen und wärst bei
[mm] 3*(4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2})=13m
[/mm]
Dort siehst du dann den Teil
[mm] (4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2})
[/mm]
der ja laut Induktionsvoraussetzung durch 13 teilbar ist.
Gruß Jens
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