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| Aufgabe | [mm] \IP [/mm] sei die Menge aller Primzahlen und [m] M := \{p \in \IP \, | \, p +2 \in \IP \} [/m]
a) Geben Sie in Worten an, wie die obige Definition von M gelesen wird.
b) Sei [m]n \in \IN[/m]. Geben Sie durch Negation eine Aussage an, die äquivalent zur Aussage [m]n \not \in M[/m] ist. |
Hallo zusammen,
zu a) M ist definiert als die Menge aller [m]p[/m] in [m]\IP[/m], ([m]\IP[/m] ist die Menge aller Primzahlen) für die gilt: p + 2 ist Element von [m]\IP[/m].
Ist das so korrekt? Wie kann man es besser ausdrücken?
zu b) Leider keine Idee. Mein Vorschlag: [m]n \in \IN[/m]: Also n ist Element der natürlichen Zahlen.
Ich gebe mal die mal die ersten 5 Zahlen der Menge [mm] \IP [/mm] explizit an.
Dazu erstmal die (formale) Definition einer Primzahl: p [mm] \in \IZ [/mm] mit p > 1 heißt Primzahl [mm] \gdw [/mm] 1|p [mm] {\land} [/mm] p|p.
Explizite Angabe von [mm] \IP [/mm] (die ersten 10 Zahlen):
[mm] \IP [/mm] = [mm] \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...\}
[/mm]
Somit ist die explizite Angabe von [mm] \IM, [/mm] ausgehend von [mm] \IP [/mm] (wieder nur die ersten 10 Zahlen):
[mm] \IM [/mm] = [mm] \{4, 5, 7, 9, 13, 19, 25, 31 ... \}, [/mm] also ist [m]n \not \in \IN[/m] explizit angegeben (die ersten 10 Zahlen): [mm] \{1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 15 ...\}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber leider nicht, wie man durch Negation eine Aussage angeben soll, welche äquivalent zu [m]n \not \in \IM[/m] ist.
Freue mich über Tipps/Ratschläge!
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 24.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Dürft ihr das nicht kurz und klar sagen: M ist die Menge aller Primzahlen, die durch Addition von 2 wieder eine Primzahl ergeben.
b verstehe ich nicht so ganz. Soll da zuerst die Aussage n aus M formuliert werden und dann negiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:08 Di 25.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo gummibaum!
> [mm]\IP[/mm] sei die Menge aller Primzahlen und [m]M := \{p \in \IP \, | \, p +2 \in \IP \}[/m]
>
> a) Geben Sie in Worten an, wie die obige Definition von M
> gelesen wird.
> b) Sei [m]n \in \IN[/m]. Geben Sie durch Negation eine Aussage
> an, die äquivalent zur Aussage [m]n \not \in M[/m] ist.
> zu b) Leider keine Idee. Mein Vorschlag: [m]n \in \IN[/m]: Also n
> ist Element der natürlichen Zahlen.
> Ich gebe mal die mal die ersten 5 Zahlen der Menge [mm]\IP[/mm]
> explizit an.
>
> Dazu erstmal die (formale) Definition einer Primzahl: p [mm]\in \IZ[/mm]
> mit p > 1 heißt Primzahl [mm]\gdw[/mm] 1|p [mm]{\land}[/mm] p|p.
Das ist Quatsch. Dann wäre jede ganze Zahl $p>1$ eine Primzahl.
> Explizite Angabe von [mm]\IP[/mm] (die ersten 10 Zahlen):
> [mm]\IP[/mm] = [mm]\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...\}[/mm]
Ja.
> Somit ist die explizite Angabe von [mm]\IM,[/mm] ausgehend von [mm]\IP[/mm]
> (wieder nur die ersten 10 Zahlen):
>
> [mm]\IM[/mm] = [mm]\{4, 5, 7, 9, 13, 19, 25, 31 ... \},[/mm]
Nein.
Untersuchen wir etwa, ob [mm] $4\in [/mm] M$ gilt: [mm] $4\in [/mm] M$ gilt nach Definition von $M$ genau dann, wenn 4 eine Primzahl ist und gleichzeitig 4+2=6 ebenfalls eine Primzahl ist. Gilt also [mm] $4\in [/mm] M$?
> also ist [m]n \not \in \IN[/m]
Quatsch. Du meinst vermutlich, dass du nun die Menge aller [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\not\in [/mm] M$ angeben möchtest.
> explizit angegeben (die ersten 10 Zahlen): [mm]\{1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 15 ...\}[/mm]
Folgerichtig.
> Jetzt weiß ich aber leider nicht, wie man durch Negation
> eine Aussage angeben soll, welche äquivalent zu [m]n \not \in \IM[/m]
> ist.
Es gilt für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] nach Definition von $M$ die Äquivalenz:
[mm] $n\in M\iff n\in\IP\wedge n+2\in\IP$.
[/mm]
Verneine also die Aussage [mm] $n\in\IP\wedge n+2\in\IP$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Ok, nochmal zu
a) M ist definiert als die Menge aller [m]p[/m] in [m]\IP[/m], für die gilt:
p + 2 ist Element von [m]\IP[/m]
sinngemäß also: M ist definiert als die Menge aller Primzahlen, die durch Addition durch 2 wieder eine Primzahl ergebem.
Zu b) Da [m]n \in M \gdw n \in \IP \wedge n + 2 \in \IP[/m] gilt, gilt somit für die Negation folgendes:
[m]\neg (n \in M) \Leftrightarrow \neg (n \in \IP \wedge n + 2 \in \IP)[/m]
also: [m]n \not \in M \Leftrightarrow n \not \in \IP \vee n + 2 \not \in \IP[/m]
in Worten: n ist genau dann nicht Element von M, wenn n nicht Element von P ist oder n + 2 nicht Element von P ist.
Ist das alles so korrekt? Gibt es Verbesserungsvorschläge (auch beim Formulieren)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 So 06.04.2014 | | Autor: | ne1 |
Ich finde das sieht jetzt ganz gut aus.
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