...eine Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 01.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo
ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Seien [mm] a_{1} [/mm] < [mm] a_{2} [/mm] <......< [mm] a_{n} \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Gleichung
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x-a_{k}} [/mm] = c
im Fall c = 0 genau n-1 und im Fall c [mm] \not= [/mm] 0 genau n Lösungen hat.
Wie kann ich das am besten zeigen??
Für ein paar Hinweise bzw. Tipps wäre ich sehr dankbar.
Gruß IKE
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 01.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo IKE
Ich würde die die linke Seite der Gleichung als Funktion f(x) interpretieren. Diese besitzt Pole (senkrechte Asymptoten) bei den [mm]a_i[/mm]. Dann muss man zeigen, dass zwischen zwei solcher Pole jeder Funktionswert genau einmal vorkommt.
Das würde ich mit Ableiten machen, denn es gilt
[mm]f'(x)=\sum_{k=1 }^{n}\bruch{-1}{(x-a_k)^2}<0[/mm]. Die Funktion ist überall monoton fallend. Die Funktion fällt also zwischen zwei Polen von [mm] \infty [/mm] nach [mm]-\infty[/mm].
So hat man also n-1 Lösungen.
Ausserdem beachtet man noch [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0[/mm].
Dann gibt es bei c<0 eine Lösung [mm]xa_n[/mm] und bei c=0 keine weitere Lösung.
mfG Moudi
|
|
|
|
