15. Ableitung von sin(x^3) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Sa 23.04.2005 | | Autor: | d4n13l |
Hallo!
Bin neu hier und habe ein Problem: Ich habe eine Übungsaufgabe, in der die 15. Ableitung der funktion [mm] sin(x^3) [/mm] im Punkt 0 berechnet werden soll.
Habe versucht, eine Mac Laurin Entwicklung aufzustellen, damit komme ich aber nicht wirklich ans Ziel.
Es geht in dieser Aufgabe sicher nicht darum 15 mal die Ableitung zu berechnen.
Habe die Entwicklung vom Sinus und Cosinus hier, kann damit aber nicht sonderlich viel anfangen.
Bis zur 4. Ableitung habe ich gerechnet, man müsste aber noch weiter rechnen, um ein Muster zu erkennen.
Gruß Daniel
P:S: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/21624,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Mit [mm] $f(x)=\sin(x^3)$ [/mm] gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k [/mm] = f(x) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(x^3)^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{6n+3}$.
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert (man muss rechst $n=2$ einsetzen, um auf die Potenz [mm] $x^{15}$ [/mm] zu kommen):
[mm] $\frac{f^{(15)}(0)}{15!} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^2}{(2\cdot 2+1)!} [/mm] = [mm] \frac{1}{5!}$.
[/mm]
Daher gilt:
[mm] $f^{(15)}(0) [/mm] = [mm] \frac{15!}{5!} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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