4. Wurzel aus 1 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 25.06.2012 | | Autor: | herbi_m |
| Aufgabe | | Berechne alle Lösungen von [mm] \wurzel[4]{1} [/mm] und zeichne die Lösungen in die Gaußsche Zahlenebene ein. |
Meine Überlegungen:
1 ist doch eigentlich nichts anderes als [mm] i^4 [/mm] = (-1) * (-1)
Also müsste doch dann [mm] \wurzel[4]{i^4} [/mm] = i sein.
Was mich an der Aufgabenstellung etwas stutzig macht, ist jedoch, dass von mehreren Lösungen gesprochen wird.
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Lg
herbi
|
|
| |
|
Hallo herbi!
In der Menge [mm] $\IC$ [/mm] der komplexen Zahlen hat [mm] $\wurzel[4]{1}$ [/mm] bzw. die Gleichung [mm] $z^4 [/mm] \ = \ 1$ auch insgesamt 4 Lösungen.
Betrachte dafür die  Moivre-Formel.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 25.06.2012 | | Autor: | herbi_m |
Hi! Vielen Dank erstmal für den Link zu der Formel!
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich das jetzt richtig verstanden habe.
Das scheint ja etwas damit zu tun zu haben, dass ich in meiner Gaußschen Zahlenbene sozusagen "mehrfach im Kreis laufen kann".
Daher ist gilt nicht nur i = [mm] e^{i\pi/2} [/mm] sondern ich kann im Exponenten noch [mm] i2\pi [/mm] *n hinzufügen!
Aber wie sieht das jetzt im Hinblick auf die Aufgabenstellung aus?!
Kann ich davon ausgehen, dass [mm] z^4 [/mm] = [mm] i^4 [/mm] und bzw. z= i und für i dann [mm] e^{i\pi/2}+ i2\pi*n [/mm] und für n dann Werte von 0 bis ?? einsetzen, bis ich wieder auf die Lösung von n=0 komme?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] z^4=i^4 [/mm] hast du dir doch eine der vier lösungen rausgepickt, jetzt i auf mehrere Arten darzustellen hilft gar nichts!
[mm] z^4=1^4 [/mm] und [mm] z^4=(-1)^4 [/mm] wären doch genauso gut kandidaten.
ausserdem solltest du an dem einfachen Bsp ja lernen; und was machst du dann mit den Lösungen z.b [mm] z^4=1+i [/mm] ?
du musst dir schon klar machen, dass mit n potenzieren heisst den Winkel zur reellen achse zu ver n-fachen, und dass deshalb die umkehrung des potenzieren heisst den Winkel durch n zu teilen, da aber etwa 30° und 390° und 750° usw dasselbe z ergeben, musst du die halt alle durch n teilen.
gruss leduart
|
|
|
|
