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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 17.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
ich hab folgendes AWP gegeben:
[mm] $\vec{x'}(t)=A\vec{x}(t)$ $\vec{x}(0)=\vec{\xi}$
[/mm]
dabei ist: A:= konstante, reelle 3x3 Matrix
[mm] \xi \in \IR^{3} [/mm] genauer sogar [mm] \vec{\xi}(0)=\vektor{5\\2\\0}
[/mm]
und [mm] \vec{x}:\IR \to \IR^{3}
[/mm]
außerdem darf ich annehmen, dass [mm] $A\vec{v_{j}}=\lambda\vec{v_{j}}$
[/mm]
gegeben ist mir außer der speziellen Lösung [mm] \vec{\xi}(0) [/mm] noch:
[mm] \lambda_{1}=2, \vec{v_{1}}=\vektor{-2\\-2\\1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=1+3i [/mm] , [mm] \vec{v_{2}}=\vektor{5+3i\\-4\\2+i}
[/mm]
und ich soll die lösung des awp finden.
so jetzt hab ich mir überlegt, das ich zunächst das fundamentalsystem aufstelle
[mm] x_{1}=e^{2t} \vektor{-2\\-2\\1} [/mm] ist klar
1. frage: kann ich jetzt [mm] \lambda_{2} [/mm] einfach aufspalten in real- und imaginärteil?
Ich würde ja passend 2 reelle lin. unabhängige lösungen erhalten und hätte damit 3 linear unabhängige lösungen, die ich für die 3x3 matrix ja brauche.
darauf würde ja dann auch folgen, dass ein dritter EW [mm] \lambda_{3}=\overline{\lambda_{2}} [/mm] ist.
also: [mm] \lambda_{3}= [/mm] 1-3i und der EV entsprechend.
ich habe dann mal im Hinblick auf die Formel [mm] $A\vec{v_{j}}=\lambda\vec{v_{j}}$ [/mm] die rechte seite versucht und komme logischerweise auf eine Matrix, bei der in der zweiten und dritten spalte och imaginärteile drin sind...
jetzt soll die matrix ja nur reell sein.
aber bislang habe ich ja auch nur [mm] $A\vec{v_{j}}$ [/mm] gelöst.
andererseits hab ich überlegt, das ich ja eign nur [mm] \vec{x}(t) [/mm] haben will und da wäre doch die lösung schon
$ [mm] \vec{x}(t) [/mm] =c1 * [mm] x_{1}+c2 [/mm] * Re [mm] x_{2}+c3 [/mm] * Im [mm] x_{2}$
[/mm]
oder?
muss ich wirklich die matric rausfinden? oder genügt es wenn ich
den anfangswert einsetze und auflöse, sodass ich c1, c2, c3 rauskriege und das ist die lösung?
Entschuldigt, ich hoffe ich habe nicht zu verwirrend geschrieben, es sind so viele infos in der aufgabe und ich glaube nur sehr wenige davon wirklich brauchen zu müssen....?
liebe grüße
cmueller
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Hallo cmueller,
> Hallo zusammen,
> ich hab folgendes AWP gegeben:
>
> [mm]\vec{x'}(t)=A\vec{x}(t)[/mm] [mm]\vec{x}(0)=\vec{\xi}[/mm]
> dabei ist: A:= konstante, reelle 3x3 Matrix
> [mm]\xi \in \IR^{3}[/mm] genauer sogar
> [mm]\vec{\xi}(0)=\vektor{5\\2\\0}[/mm]
> und [mm]\vec{x}:\IR \to \IR^{3}[/mm]
> außerdem darf ich annehmen,
> dass [mm]A\vec{v_{j}}=\lambda\vec{v_{j}}[/mm]
>
> gegeben ist mir außer der speziellen Lösung [mm]\vec{\xi}(0)[/mm]
> noch:
>
> [mm]\lambda_{1}=2, \vec{v_{1}}=\vektor{-2\\-2\\1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}=1+3i[/mm] , [mm]\vec{v_{2}}=\vektor{5+3i\\-4\\2+i}[/mm]
>
> und ich soll die lösung des awp finden.
> so jetzt hab ich mir überlegt, das ich zunächst das
> fundamentalsystem aufstelle
> [mm]x_{1}=e^{2t} \vektor{-2\\-2\\1}[/mm] ist klar
>
> 1. frage: kann ich jetzt [mm]\lambda_{2}[/mm] einfach aufspalten in
> real- und imaginärteil?
> Ich würde ja passend 2 reelle lin. unabhängige lösungen
> erhalten und hätte damit 3 linear unabhängige lösungen,
> die ich für die 3x3 matrix ja brauche.
Hier musst Du [mm]\vec{v_{2}}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm] berechnen.
Dies spaltest Du in Real- und Imagonmärteil auf,
und erhältst 2 reelle Lösungen.
>
> darauf würde ja dann auch folgen, dass ein dritter EW
> [mm]\lambda_{3}=\overline{\lambda_{2}}[/mm] ist.
> also: [mm]\lambda_{3}=[/mm] 1-3i und der EV entsprechend.
>
> ich habe dann mal im Hinblick auf die Formel
> [mm]A\vec{v_{j}}=\lambda\vec{v_{j}}[/mm] die rechte seite versucht
> und komme logischerweise auf eine Matrix, bei der in der
> zweiten und dritten spalte och imaginärteile drin sind...
> jetzt soll die matrix ja nur reell sein.
> aber bislang habe ich ja auch nur [mm]A\vec{v_{j}}[/mm] gelöst.
>
> andererseits hab ich überlegt, das ich ja eign nur
> [mm]\vec{x}(t)[/mm] haben will und da wäre doch die lösung schon
> [mm]\vec{x}(t) =c1 * x_{1}+c2 * Re x_{2}+c3 * Im x_{2}[/mm]
> oder?
> muss ich wirklich die matric rausfinden? oder genügt es
Die Matrix muß laut der hier geposteten
Aufgabenstellung nicht herausgefunden werden.
> wenn ich
> den anfangswert einsetze und auflöse, sodass ich c1, c2,
> c3 rauskriege und das ist die lösung?
Ja, das reicht vollkommen.
>
> Entschuldigt, ich hoffe ich habe nicht zu verwirrend
> geschrieben, es sind so viele infos in der aufgabe und ich
> glaube nur sehr wenige davon wirklich brauchen zu
> müssen....?
>
> liebe grüße
> cmueller
Gruss
MathePower
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