Abbildung, Basen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 Mo 15.01.2007 | | Autor: | elim |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Meine Frage wäre die erste Teilfrage von a), sprich zeige, dass {..} und {..} Basen von P3 sind.
Normalerweise ermittle ich eine Basis in dem ich Ax=0 löse, mit Gauss-Elimination und nachher rückwärts einsetze. Doch bei dieser Aufgabenstellung komme ich nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hallo
hmm, nein eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
(auch ein minimales Erzeugendensystem)
Zeige also, dass [mm] \{p_i\} [/mm] und [mm] \{q_i\} [/mm] linear unabhängig sind,
setze also die LK [mm] ap_1+bp_2+cp_3+dp_4=0 [/mm] an mit [mm] a,b,c,d\in\IK [/mm]
(ich nehme an, du hast Polynome in [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IK=\IC)
[/mm]
und zeige durch Lösen des entstehenden Gleichungssystems, dass a=b=c=d=0 gilt.
Zu zeigen, dass [mm] \{p_i\} [/mm] und [mm] \{q_i\} [/mm] Erzeugendensysteme sind, kannste dir sparen,
da [mm] dimP_3=4=|\{p_i\}|=|\{q_i\}|
[/mm]
Falls etwas beim Lösen den Gleichungssystems nicht klappt, poste deinen Ansatz, dann kann man nach evtl. Fehlern suchen ;)
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
dein vorgehen ueber Ax=0 ist richtig (und schachuzipus schlaegt dir auch dasselbe vor), aber du musst die Polynome natuerlich noch als Spaltenvektoren der Matrix A darstellen, also waehle doch mal die Basis : [mm] $B=(1,x,x^2,x^3)$, [/mm] dann ist ein polynom: [mm] $d*x^3+c*x^2+b*x+a*1$ [/mm] darstellbar als Vektor bzgl B als : [mm] $\vektor{a\\b\\c\\d}$
[/mm]
also schreibe deine Polynome [mm] p_i [/mm] als Spaltenvektoren in deine Matrix A und loese wie gewohnt Ax=0 - dann machst du dasselbe wie schachuzipus nur eben in Matrixschreibweise...
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:13 Mo 15.01.2007 | | Autor: | elim |
Besten Dank für eure Hinweise!
1. Matrix A aufstellen:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & -8 & -27 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & -3 & -6 & -9 \\1 & 1 & 1 & 1 \\}
[/mm]
2. Mit Zeilen vertauschen und Gauss komme ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & -12 & -36 \\0 & 0 & 0 & 0 \\}
[/mm]
3. Dass jetzt [mm] $\vektor{a\\b\\c\\d}$ [/mm] = 0 gilt, ist ersichtlich, resp. das hätte man schon vor der Gausselimination sagen können. Wo liegt mein Überlegungsfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
(und ja, wir moegen auch freundliche Anreden)
du machst irgendwo fehler beim Gauss, ich komme auf : $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & -12 & -54 \\0 & 0 & 0 & -18 \\} [/mm] $
wenn du keine zwischenschritte angibst, kann man dir schlecht helfen..
viele gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 15.01.2007 | | Autor: | elim |
Guten Tag (entschuldigen Sie bitte mein Vergehen im obigen Post)!
Hab mich nochmals hinter die Elimination gemacht, folgendes hab ich bekommmen:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & -3 & -6 & -9 \\0 & -1 & -8 & -27 \\} [/mm] $
Erster Schritt:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & 6 & 18 \\0 & 0 & -4 & -18 \\} [/mm] $
Zweiter Schritt:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & 6 & 18 \\0 & 0 & 0 & -6 \\} [/mm] $
-> Jetzt ist das Problem mit =0 auch behoben. Besten Dank für eure Inputs, ich versuche mich mal an den q-Polynomen. Merci nochmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Guten Tag (entschuldigen Sie bitte mein Vergehen im obigen
> Post)!
kein Problem - war oben auch nur als Hinweis gemeint.
Ganz so förmlich muss es natürlich nicht sein, ein freundliches 'Hallo' reicht vollkommen
(und die meisten hier darf man ohne Probleme Dutzen)
>
> Hab mich nochmals hinter die Elimination gemacht, folgendes
> hab ich bekommmen:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & -3 & -6 & -9 \\0 & -1 & -8 & -27 \\}[/mm]
>
> Erster Schritt:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & 6 & 18 \\0 & 0 & -4 & -18 \\}[/mm]
>
ich frage mich, wie du auf die letzte Zeile gekommen bist....
> Zweiter Schritt:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & 6 & 18 \\0 & 0 & 0 & -6 \\}[/mm]
>
genau wie hier : selbst wenn deine Matrix vorher richtig wäre, muss du doch für die letzte Zeile folgendes Rechnen:
neue letzte Zeile = 3 mal alte letzte Zeile PLUS 2 mal alte vorletzte Zeile
das ergibt aber als neue letzte Zeile (0,0,0,-18)
oder hab ich mich jetzt verrechnet?
(kann ja auch sein)
viele Grüße
DaMenge
> -> Jetzt ist das Problem mit =0 auch behoben. Besten Dank
> für eure Inputs, ich versuche mich mal an den q-Polynomen.
> Merci nochmals.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Mo 15.01.2007 | | Autor: | elim |
Hi there!
> ich frage mich, wie du auf die letzte Zeile gekommen bist....
Meine Rechenvariante:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & -3 & -6 & -9 \\0 & -1 & -8 & -27 \\} [/mm] $
3te neue Zeile: 3te alte Zeile + 2te alte Zeile
-3+3=0 / -6+12=6 / -9+27=18
4te neue Zeile: 4te alte Zeile + (2te alte Zeile)/3
-1+3/3=0 / -8+12/3=-4 / -27+27/3=-18
Ergibt:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 12 & 27 \\0 & 0 & 6 & 18 \\0 & 0 & -4 & -18 \\} [/mm] $
Hab ich mich da verrechnet? Bin jetzt auch unsicher...
Beste Grüsse
elim
By the way, das wäre dann gleich die Transformationsmatrix (T) von der Standartbasis (I) auf p ({p1,p2,p3,p4}), oder? Da T=I-1*p.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 17.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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