Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien X,Y,Z Mengen und f: X [mm] \to [/mm] Y, g: Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen. Außerdem sei h = g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Z die Verknüpfung von g und f gegeben durch h(x) = g(f(x)). Entscheiden Sie, ob die Aussagen richtig sind:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch h (also g [mm] \circ [/mm] f) injektiv.
d) Sind f und g bijektiv, so ist auch h (also g [mm] \circ [/mm] f) bijektiv. Falls h bijektiv ist, geben Sie eine Formel für h^(-1) an. |
Also a) wäre meiner Meinung nach richtig, denn
zu zeigen: f,g sind injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f injektiv
Seien f,g injektiv. Seien x, x' [mm] \in [/mm] X, sodass g [mm] \circ [/mm] f(x) = g [mm] \circ [/mm] f(x').
Aus Injektivität von g und Gleichung g(f(x)) = g(f(x')) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(x')
Nach Injektivität von f und Gleichung f(x) = f(x') [mm] \Rightarrow [/mm] x = x'
Also unter Voraussetzung, dass f,g injektiv sind: [mm] \forall [/mm] x,x' [mm] \in [/mm] X: (g [mm] \circ [/mm] f(x) = g [mm] \circ [/mm] f(x') [mm] \Rightarrow [/mm] x = x') QED
d) Also hier besteht mein Problem darin, dass ich ja eigentlich weiß, dass g [mm] \circ [/mm] f bijektiv ist, wenn f injektiv und g surjektiv sind. Ist ja aber anders behauptet in Aufgabe d) ?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien X,Y,Z Mengen und f: X [mm]\to[/mm] Y, g: Y [mm]\to[/mm] Z Abbildungen.
> Außerdem sei h = g [mm]\circ[/mm] f : X [mm]\to[/mm] Z die Verknüpfung von
> g und f gegeben durch h(x) = g(f(x)). Entscheiden Sie, ob
> die Aussagen richtig sind:
>
> a) Sind f und g injektiv, so ist auch h (also g [mm]\circ[/mm] f)
> injektiv.
>
> d) Sind f und g bijektiv, so ist auch h (also g [mm]\circ[/mm] f)
> bijektiv. Falls h bijektiv ist, geben Sie eine Formel für
> h^(-1) an.
> Also a) wäre meiner Meinung nach richtig, denn
>
> zu zeigen: f,g sind injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\circ[/mm] f
> injektiv
> Seien f,g injektiv. Seien x, x' [mm]\in[/mm] X, sodass g [mm]\circ[/mm] f(x)
> = g [mm]\circ[/mm] f(x').
>
> Aus Injektivität von g und Gleichung g(f(x)) = g(f(x'))
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = f(x')
> Nach Injektivität von f und Gleichung f(x) = f(x')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = x'
>
> Also unter Voraussetzung, dass f,g injektiv sind: [mm]\forall[/mm]
> x,x' [mm]\in[/mm] X: (g [mm]\circ[/mm] f(x) = g [mm]\circ[/mm] f(x') [mm]\Rightarrow[/mm] x =
> x') QED
Ist O.K.
>
> d) Also hier besteht mein Problem darin, dass ich ja
> eigentlich weiß, dass g [mm]\circ[/mm] f bijektiv ist, wenn f
> injektiv und g surjektiv sind.
Das stimmt aber nicht !
Sei [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] f(x):=x. f ist injektiv.
Sei g: [mm] \IR \to \{0\}, [/mm] g(x):=0. g ist surjektiv.
Dann ist h(x)=g(f(x))=g(x)=0 für alle x. h ist also nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv.
Die Aufgabe lautet so:
Sind f und g bijektiv, ist dann auch h bijektiv ? Ja, das ist so. Beweise es.
FRED
> Ist ja aber anders behauptet
> in Aufgabe d) ?!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Ok, also seien f und g bijektiv. Dann sind per Definiton f und g injektiv und surjektiv.
injektiv) Seien f und g injektiv. Seien x,x' [mm] \in [/mm] X, sodass g [mm] \circ [/mm] f(x) = g [mm] \circ [/mm] f(x')
Aus Injektivität von g und Gleichung g(f(x)) = g(f(x')) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(x')
Aus Injektivität von f und Gleichung f(x) = f(x') [mm] \Rightarrow [/mm] x = x'
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x,x' [mm] \in [/mm] X : (g(f(x) = g(f(x')) [mm] \Rightarrow [/mm] x=x')
surjektiv) Seien f und g surjektiv. Seien f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z.
Für Surjektivität von f gilt: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y : [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : f(x)=y
Für Surjektivität von g gilt: [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z : [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y : f(y) =z
[mm] \Rightarrow [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z : [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = z.
Nach g [mm] \circ [/mm] f injektiv und g [mm] \circ [/mm] f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f bijektiv. |
Is das so OK?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also seien f und g bijektiv. Dann sind per Definiton f
> und g injektiv und surjektiv.
>
> injektiv) Seien f und g injektiv. Seien x,x' [mm]\in[/mm] X, sodass
> g [mm]\circ[/mm] f(x) = g [mm]\circ[/mm] f(x')
>
> Aus Injektivität von g und Gleichung g(f(x)) = g(f(x'))
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = f(x')
> Aus Injektivität von f und Gleichung f(x) = f(x')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = x'
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x,x' [mm]\in[/mm] X : (g(f(x) = g(f(x'))
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=x')
>
> surjektiv) Seien f und g surjektiv. Seien f: X [mm]\to[/mm] Y und g:
> Y [mm]\to[/mm] Z.
>
> Für Surjektivität von f gilt: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y : [mm]\exists[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X : f(x)=y
> Für Surjektivität von g gilt: [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z : [mm]\exists[/mm]
> y [mm]\in[/mm] Y : f(y) =z
Da hast Du Dich verschrieben. Es soll lauten: g(y)=z
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (g [mm]\circ[/mm] f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z : [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : (g [mm]\circ[/mm]
> f)(x) = z.
>
> Nach g [mm]\circ[/mm] f injektiv und g [mm]\circ[/mm] f surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm]
> g [mm]\circ[/mm] f bijektiv.
> Is das so OK?
Ja, bis auf obigen Verschreiber.
FRED
|
|
|
| |
|
und könntest du mir bitte jetzt helfen, wie ich die Formel für die Umkehrfunktion finde?
Ich weiß ja nun, dass jede bijektive Abbidlung eine Umkehrabbildung besitzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit $h= g [mm] \circ [/mm] f$ ist [mm] $h^{-1}= f^{-1} \circ g^{-1}$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
