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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^3 \to \IR^2, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (x+y,y+z)
Untersuchen Sie auf Surjektivität und Injektivität. |
Hallo Mathe-Raum-Team,
ich habe hier schwirigkeiten die Beweise zu führen.
Ich sehe das die Abbildung surjektive und nicht injektiv ist, aber formuliere ich das am besten aus, sodass ein Fundamentaler Beweis vorliegt?
Das die Abbildung nicht Injektive ist kann man doch schnell mit einem Gegenbeweis ermittel.
(1,2,1) [mm] \to [/mm] (3,3)
(2,1,2) [mm] \to [/mm] (3,3)
geht das?
Danke
egmont
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR^3 \to \IR^2,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] (x+y,y+z)
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> Untersuchen Sie auf Surjektivität und Injektivität.
> Hallo Mathe-Raum-Team,
>
> ich habe hier schwirigkeiten die Beweise zu führen.
> Ich sehe das die Abbildung surjektive und nicht injektiv
> ist, aber formuliere ich das am besten aus, sodass ein
> Fundamentaler Beweis vorliegt?
>
> Das die Abbildung nicht Injektive ist kann man doch schnell
> mit einem Gegenbeweis ermittel.
> (1,2,1) [mm]\to[/mm] (3,3)
> (2,1,2) [mm]\to[/mm] (3,3)
>
> geht das?
Ja
FRED
>
> Danke
> egmont
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
und wie bewesie ich die Surjektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm $(a,b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und zeige, dass das Gleichungssystem
x+y=a
y+z=b
Lösungen besitzt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
Ich verstehe nicht was dieses GLS mit der totalen difiniertheit der Abbildung zu tun hat?
Könntest du das bitte weiter erläurern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe nicht was dieses GLS mit der totalen
> difiniertheit der Abbildung zu tun hat?
Den Begriff "totale difiniertheit" kenne ich gar nicht. Wahrscheinlich meintest du Surjektivität?
Für gegebenes [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] sind ja reelle Zahlen x, y und z gesucht mit $f((x,y,z))=(a,b)$. $f((x,y,z))=(a,b)$ bedeutet aber wegen $f((x,y,z))=(x+y,y+z)$ nichts anderes als $(x+y,y+z)=(a,b)$ und dies ist wiederum gleichbedeutend mit Freds Gleichungssystem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo egmont,
zur Surjektivität: $f$ heißt surjektiv, wenn für alle [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] ein [mm] $(x,y,z)\in\IR^3$ [/mm] existiert mit $f((x,y,z))=(a,b)$.
Betrachte also ein beliebiges [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] und gib geeignete reelle Zahlen $x$,$y$ und $z$ an, so dass $f((x,y,z))=(a,b)$ gilt.
Viele Grüße
Tobias
> f: [mm]\IR^3 \to \IR^2,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] (x+y,y+z)
>
> Untersuchen Sie auf Surjektivität und Injektivität.
> Hallo Mathe-Raum-Team,
>
> ich habe hier schwirigkeiten die Beweise zu führen.
> Ich sehe das die Abbildung surjektive und nicht injektiv
> ist, aber formuliere ich das am besten aus, sodass ein
> Fundamentaler Beweis vorliegt?
>
> Das die Abbildung nicht Injektive ist kann man doch schnell
> mit einem Gegenbeweis ermittel.
> (1,2,1) [mm]\to[/mm] (3,3)
> (2,1,2) [mm]\to[/mm] (3,3)
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> geht das?
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> Danke
> egmont
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
Aber habe ich dass dann nicht nur für einen Fall Bewiesen, dass es so ist? Bei einem schlüssigen Beweis muss ich doch so vorgehen, das alle Möglichkeiten erschalgen werden, oder habe ich da noch was nicht Richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aber habe ich dass dann nicht nur für einen Fall Bewiesen,
> dass es so ist? Bei einem schlüssigen Beweis muss ich doch
> so vorgehen, das alle Möglichkeiten erschalgen werden,
> oder habe ich da noch was nicht Richtig verstanden?
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstanden habe (Welchen "einen Fall" und welche "Möglichkeiten" meinst du?). Wenn nicht, frag bitte nochmal nach.
Du zeigst für ein BELIEBIGES [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] eine gewisse Aussage. Also ist diese Aussage damit für ALLE [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
genau das meinte ich, warum soll das für alle [mm] (a,b)\in\IR^2 [/mm] gelten, wenn ich das nur für einen [mm] (a,b)\in\IR^2 [/mm] bewiesen habe.
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Hallo egmont!
> genau das meinte ich, warum soll das für alle
> [mm](a,b)\in\IR^2[/mm] gelten, wenn ich das nur für einen
> [mm](a,b)\in\IR^2[/mm] bewiesen habe.
Weil Du an dieses [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] keinerlei Bedingungen geknüpft hast und die Eigenschaft für beliebige Werte gezeigt hast.
Du kannst nun für $a_$ und $b_$ jeweils beliebige Werte ohne Einschränkung einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ich glaube, jetzt verstehe ich, wo das Missverständnis liegt: Mit einem "beliebigen [mm] $(a,b)\in\IR^2$" [/mm] ist NICHT gemeint, dass du dir ein konkretes (wie z.B. $(3,5)$) beliebig aussuchst. Sondern du startest z.B. mit den Worten: "Sei [mm] $(a,b)\in\IR^2$ [/mm] beliebig." Dann schreibst du etwas wie "Wir definieren x:=<hier steht irgendein Ausdruck, der von a und b abhängt>." und analog mit y und z. Dann zeigst du, dass $f(x,y,z)=(a,b)$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
achso, ginge das dann ungefähr so?
y+x = a
y+z = b
Das ist ja die Grundforraussetzung.
die Möglichen Umformungen wären dann folgende:
x= a-y
y= a-x
y= b-z
z= b-y
Daraus könnte ich dann folgende Abhängigkeit feststellen.
x= a-b-z
z= b-a-y
y=a-a-b-z = -2a-b-z
Aber irgendwie komme ich so auch nicht weiter, weil ich in jeder Gleichung immer mindests 2 unbekannte haben werde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Du brauchst gar nicht die genaue Lösungsmenge des Gleichungssystems, sondern nur die Existenz irgendeiner Lösung [mm] $(x,y,z)\in\IR^3$. [/mm] So eine findest du am besten durch "Hingucken" auf die Ausgangsgleichungen. (Wenn du keine Idee hast: Suche dir mal einen (jetzt wirklich) konkreten Wert für x aus und schaue, ob es passende y und z gibt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
also wenn ich die Anfangsgleichungen a und b wähle und x festlege komme ich auf ein entsprechendes y und ein entsprechendes z, aber ich glaube das war nicht Sinn der Sache.
also ich habe die Anfangsgleichungen
y+x = a
y+z = b
x=3, a=2, b=1
y+3=2
y=-1
-1+z=1
z=2
Aber das sieht mir nach Muus aus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Nicht a und b wählen! Die sind vorgegeben. Nur x,y und z darfst du dir so wählen, dass sie die Gleichungen erfüllen. Ein Vorschlag (von dem a priori überhaupt nicht klar ist, das er zum Ziel führt) von mir war, dass du mal guckst, ob es y und z gibt, so dass z.B. mit x=3 die Gleichungen erfüllt sind.
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